Aufgabe:
\( S=\sum \limits_{k=0}^{49}(2 k+1)^{2} \)
Ansatz/Problem:
Ich habe das Binom aufgelöst
2k² + 4k + 1
und dann mit den Summenformeln
40.025 + 4.900 + 1 = 45.326
berechnet, laut Lösung (166.650) stimmt das aber nicht, weiß vielleicht jemand, warum?
$$S_n=\sum_{k=0}^n(2k+1)^2=\sum_{k=0}^n(4k^2+4k+1)=4\sum_{k=1}^nk^2+4\sum_{k=1}^nk+\sum_{k=0}^n1$$$$\quad=4\cdot\frac16n(n+1)(2n+1)+4\cdot\frac12n(n+1)+(n+1)$$$$\quad=\frac13(n+1)(2n+1)(2n+3).$$$$S_{49}=\frac13\cdot50\cdot99\cdot101=166650.$$
Wieso ist die Summe über 1 50? Wäre das nicht dann der Fall, wenn dort k und nicht 1 stünde?
Also so
\( S=\sum \limits_{k=0}^{49}\left(2 k^{2}+k\right) \)
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