Vollständige Induktion: Summe von n Quadratzahlen.

Question

Ich komme bei einer vollständigen Induktion nicht weiter...

$$ \sum _{ j\quad =\quad 1 }^{ n }{ { j }^{ 2 }=\quad \frac { n(n+1)(2n+1) }{ 6 }  } $$

Hier mal mein Ansatz:

Induktionsanfang: $$ n\quad =\quad 1\quad \sum _{ j\quad =\quad 1 }^{ 1 }{ { j }^{ 2 }=\quad { 1 }^{ 2 }\quad =\quad 1\quad =\quad \frac { 1(1+1)(2*1+1) }{ 6 }  } =\frac { 6 }{ 6 } =\quad 1 $$

Induktionsschluss: $$ n\quad \rightarrow \quad n+1:\quad \sum _{ j\quad =\quad 1 }^{ n+1 }{ { j }^{ 2 }\quad +\quad ({ n+1 })^{ 2 } } =\quad \frac { (n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1) }{ 6 } +({ n+1 })^{ 2 }\quad =\quad \frac { ({ n }^{ 2 }+3n+2)(2n+3)+6{ n }^{ 2 }+12n+6 }{ 6 } \quad =\quad \frac { 2{ n }^{ 3 }+15{ n }^{ 2 }+25n+12 }{ 6 } $$

Weiter weiß ich leider nicht, ich bin mir auch ziemlich sicher, dass das so nicht richtig ist...Was soll überhaupt rauskommen? Quasi die Anfangsbehauptung nur statt n jetzt (n+1)?

Comments

$$ \sum _{ j=1 }^{ n }{ { j }^{ 2 }+(n+1)^{ 2 }\quad =\quad \frac { (n+1)(n+2)(2n+3) }{ 6 } =\frac { n(n+1)(2n+1) }{ 6 } +(n+1)^{ 2 } }  $$

Das kann doch nicht der gesamte Induktionschluss sein...was muss ich jetzt machen? (bzw. ist bis hier alles richtig?) Ich stehe hier gerade echt aufm Schlauch -.-

Das habe ich jetzt aufgeschrieben, der Link von Unknow hat mir ehrlich gesagt nicht geholfen (unser Prof hat es anders gezeigt...)

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Bei Deinem Professor und bei meinem Link steht nichts anderes. Nur dass JotEs das noch hergeleitet hat wie man vom zweiten auf den dritten Schritt kommt, während Dein Professor es direkt hingeschrieben hat^^.

Bitte kommentiere übrigens direkt unter einer Antwort. Dann gibt es beim Helfer eine Nachricht. So kann das leicht übersehen werden ;).

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Ok werde ich machen.^^

Ist das Obige jetzt der Induktionsschluss? Also kann ich das so stehen lassen?

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Ja kannst Du. Du hast ja gezeigt, dass die erste Zeile auch für (n+1) gilt ;).

Answer 1

Hi,

Dein Induktionsschluss ist falsch. Das hast Du dort doppelt gemoppelt mit dem (n+1).

Schau auch mal hier: https://www.mathelounge.de/91695/vollstandige-induktion-1%C2%B2-2%C2%B2-3%C2%B2-n%C2%B2-n-n-1-2n-1-6

Da hat das JotEs einst sauber aufgeschrieben ;).

Grüße

Answer 2

dein Induktionsschluss ist falsch es müsste so beginnen:

$$ \sum_{j=1}^{n+1}j^2 = \sum_{j=1}^nj^2 + (n+1)^2 $$

Jetzt ersetzt du die Summe die bis n geht durch deine Induktionsvoraussetzung (die Formel für n) rechnest alles zusammen bis du auf die Form der Formel für n+1 kommst.

Gruß

Answer 3

Du musst die Summe bis n+1 aufteilen in Summe bis n + letzter Summand

und die Summe bis n, ist ja wegen der Ind.vor bekannt, also

Summe bis n+1 =  n*(n+1)*(2n+1) / 6   +   (n+1)^2

jetzt alles zusammenrechnen, gibt   (n+1)(n+2)(2(n+1)+1) / 6

Kannst auch beide Terme so lange umformen, bis du siehst,

dass es das gleiche ist.