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Beweisen Sie per Induktion, dass für alle natürlichen Zahlen n gilt:

$$ \sum _ { k = 1 } ^ { n } ( 2 k - 1 ) ^ { 2 } = \frac { n \left( 4 n ^ { 2 } - 1 \right) } { 3 } $$

Ich bekomme den Beweis nicht hin. Kann jemand die Aufgabe lösen?

von

beweisen sie mithilfe der vollständigen Induktion, für alle natürlichen Zahlen n gilt

12+32+...+(2n-1)2=n*(2n-1)*(2n+1)/3

2 Antworten

+2 Daumen

Zunächst die Induktionsbehauptung, für n=1:

Dann bleibt von der Summe nur das erste Element übrig, nämlich die 1.

Auf der rechten Seite rechnet man 1*(4*1^2-1)/3 = 3/3 = 1, also stimmt der Induktionsanfang.

InduktionsVoraussetzung: Die Aussage gelte für irgendein n, also

$$ \sum _ { k = 1 } ^ { n } ( 2 k - 1 ) ^ { 2 } = \frac { n \left( 4 n ^ { 2 } - 1 \right) } { 3 } $$

Zu zeigen ist dann, dass die Aufgabe für n+1 erfüllt ist, dass also

$$ \sum _ { k = 1 } ^ { n + 1 } ( 2 k - 1 ) ^ { 2 } = \frac { ( n + 1 ) \left( 4 ( n + 1 ) ^ { 2 } - 1 \right) } { 3 } $$

gilt.

Induktionsschritt:

Gehe aus von der Summe:

$$ \sum _ { k = 1 } ^ { n + 1 } ( 2 k - 1 ) ^ { 2 } = \sum _ { k = 1 } ^ { n } ( 2 k - 1 ) ^ { 2 } + ( 2 ( n + 1 ) - 1 ) ^ { 2 } $$

| setze für Summe Induktionsvoraussetzung ein

$$ = \frac { n \left( 4 n ^ { 2 } - 1 \right) } { 3 } + ( 2 n + 1 ) ^ { 2 } = \frac { 4 n ^ { 3 } - n + 12 n ^ { 2 } + 12 n + 3 } { 3 } $$


Betrachten wir nun nur den Zähler:

4n^3 + 12n^2 + 11n + 3

Durch Einsetzen stellt man fest, dass n=-1 eine Nullstelle des Terms ist, sodass der Linearfaktor (n+1) herausgezogen werden kann. Dafür führen wir eine Polynomdivision durch:

(4n^3 + 12n^2 + 11n + 3)/(n + 1) = 4n^2 + 8n + 3
(4n^3 +   4n^2)
                8n^2 + 11n
                8n^2 +   8n
                               3n + 3
                               3n + 3
                                        0

Damit folgt:

(4n^3 + 12n^2 + 11n + 3) = (n+1)(4n^2 + 8n + 3)

Im zweiten Faktor kann man noch eine quadratische Ergänzung machen:

4n^2 + 8n + 3 = 4n^2 + 8n + 4 - 1 = 4*(n^2+2n+1) - 1 = 4*(n+1)^2 - 1


Damit haben wir insgesamt erhalten:

$$ \sum _ { k = 1 } ^ { n + 1 } ( 2 k - 1 ) ^ { 2 } = \frac { ( n + 1 ) \left( 4 ( n + 1 ) ^ { 2 } - 1 \right) } { 3 } $$

Das ist aber genau das, was wir beweisen wollten.

von 10 k
ich habe da einf#e frage #. und zwar sagst du einmal:

"Durch Einsetzen stellt man fest, dass n=-1 eine Nullstelle des Terms"

da wir diese formel aber für alle natürlichen zahlen beweisen müssen ist dies doch schwachsinn, da -1 keine natürliche zahl ist, oder?

Das ist für die Argumentation gar nicht wichtig, es geht ja nur darum, dass der Linearfaktor (n+1) herausgezogen werden kann.

Man kann diese Stelle auch zeigen, indem man den umgekehrten Weg geht.

 

Das heißt: wir haben den Term (4n3 + 12n2 + 11n + 3)/3 erhalten und wollen nun zeigen, dass er gleich (n+1)(4(n+1)²-1)/3 ist.

Dafür kann man auch einfach den zweiten Term ausmultiplizieren und erhält dann den ersten.

+1 Daumen

Für n=1 stimmt es

1^2 =  1* (2*1-1)*(2*1+1) / 3

wenn es für n stimmt , also für irgendein n gilt

12+32+...+(2n-1)2=n*(2n-1)*(2n+1)/3           #

dann ist zu zeigen, dass es auch für n+1 gilt .

Dann ist die Summe

12+32+...+(2n-1)2  +  ( 2(n+1) - 1) ^2

=12+32+...+(2n-1)2  +  ( 2n- 1) ^2  

und bis auf den letzten Summanden ist das ja die gleiche

Summe wie bei # , also kann man die rechte Seite von # einsetzen

=  n*(2n-1)*(2n+1)/3             +    ( 2n- 1) ^2             *

Jetzt muss man ein wenig rumrechnen, ob das das gleiche

ist wie die rechte Seite von #, wenn man dort n+1 einsetzt.

Das wäre    (n+1)*(2(n+1)-1)*(2(n+1)+1)/3             **

Dazu muss man  *  und ** solange umformen, bis bei beiden das

gleiche Ergebnis rauskommt.   Oder beide gleichsetzen und

durch Äquivalenzumformungen

zeigen, dass dies eine allgemeingültige Gleichung

wie  x= x  oder sowas ergibt.

von 252 k 🚀

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