Zeige x > y, also (n^{1/n} - 1) > (n+1)^{1/n(+1)} - 1 (Umformungshilfe)

Question

Es soll gelten: a_n > a_{n + 1} für ∀n∈ℕ
Habe also:

$$ \sqrt[n]{n} -1 > \sqrt[n+1]{n+1} - 1 \\ \sqrt[n]{n} > \sqrt[n+1]{n+1} /^n \\ n > (n+1)(\sqrt{n+1})^n $$

Komme leider nun nicht weiter. Irgendwelche ratschläge?
Kann ich irgendwie die Behauptung a_n > a_{n + 1} für ∀n∈ℕ beweisen?

Danke.

Comments

Die letzte Umformung ist falsch.

Answer 1

n^{1/n} - 1 > (n + 1)^{1/(n + 1)} - 1

Gilt das denn für n = 1 ?

1^{1/1} - 1 > (1 + 1)^{1/(1 + 1)} - 1

1 - 1 > 2^{1/2} - 1

1 > √2

Das stimmt nicht.

Comments

Habe also den Induktionsanfang vernachlässigt.

Danke.