Konvergenz von n-te Wurzel

Question

Aufgabe:

a_n : = \( \sqrt[n]{4*n^2 - 3*n} \) auf Konvergenz untersuchen:

Behauptung: a_n konvergiert gegen 1

Grenzwertuntersuchung:

Text erkannt:

\( =\sqrt[x]{4 x^{2}-3 x} \cdot \frac{\sqrt[x]{4 x^{2}-3 x}}{\sqrt[x]{4 x^{2}-3 x}}=\frac{\left(4 x^{2}-3 x\right)}{\sqrt[x]{4 x^{2}-3 x}}=\frac{x^{2} \cdot\left(4-\frac{3}{x}\right)}{\sqrt[x]{x^{2} \cdot\left(4-\frac{3}{x}\right)}}=\frac{x x \cdot\left(4-\frac{3}{x}\right)}{x \cdot \sqrt{4-\frac{3}{x}}} \)
\( =x \cdot \frac{\left(4-\frac{3}{x}\right)}{\left.\sqrt{4-\frac{3}{x}}\right)} \rightarrow \sqrt{x \rightarrow \infty} \)

Text erkannt:

\( =\sqrt[x]{4 x^{2}-3 x} \cdot \frac{\sqrt[x]{4 x^{2}-3 x}}{\sqrt[x]{4 x^{2}-3 x}}=\frac{\left(4 x^{2}-3 x\right)}{\sqrt[x]{4 x^{2}-3 x}}=\frac{x^{2} \cdot\left(4-\frac{3}{x}\right)}{\sqrt[x]{x^{2} \cdot\left(4-\frac{3}{x}\right)}}=\frac{x x \cdot\left(4-\frac{3}{x}\right)}{x \cdot \sqrt{4-\frac{3}{x}}} \)
\( =x \cdot \frac{\left(4-\frac{3}{x}\right)}{\left.\sqrt{4-\frac{3}{x}}\right)} \rightarrow \sqrt{x \rightarrow \infty} \)

Ich komme nicht weiter :(

Answer 1

\( \sqrt[n]{4*n^2 - 3*n} \)
\( = \sqrt[n]{n^2 } \cdot\sqrt[n]{4 - \frac{3}{n}}\)

\( =\sqrt[n]{n } \cdot \sqrt[n]{n } \cdot\sqrt[n]{4 - \frac{3}{n}}\)

Alle drei Faktoren gehen gegen 1.

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Vielen Dank!