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Geben Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von y=ean, die durch (0|0) geht. Welche Koordinaten hat der Berührpunkt?

von

1 Antwort

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Da die Tangente durch (0|0) gehen soll, muss

g(x) = m*x

gelten.

Außerdem gilt für den Berührpunkt:

g(a) = ma = f(a) = ea

g'(a) = m = f'(a) = ea

Damit folgt a = 1 und m = e, also

g(x) = e*x

und der Berührpunkt lautet

P(1|e)


 

 

von 10 k
Um sicher zu sein, dass es sich tatsächlich um einen Berührpunkt handelt und nicht etwa um einen Schnittpunkt, muss noch  g''(1) ≠ f''(1)  gezeigt werden.

Das ist nicht richtig.

Definitionsgemäß liegt ein Berührungspunkt vor, wenn zwei Funktionen in einem gemeinsamen Punkt eine gemeinsame Tangente besitzen.

Dafür ist es notwendig und hinreichend, dass

f(x) = g(x)
f'(x) = g'(x)

gilt. Über die höheren Ableitungen wird keine Aussage gemacht.

Verallgemeinert spricht man von einer Berührung n-ter Ordnung, wenn gilt

f(x) = g(x)
f'(x) = g'(x)
f''(x) = g''(x)
...
f(n)(x) = g(n)(x)

wenn also der Funktionswert und alle bis zur n-ten Ableitung übereinstimmen.

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