Tangente an Funktionsgraphen bestimmen

Question

fk(x)= e-(x+2)*e^-k*x    k∈ℝ

Für welche k lassen sich vom Punkt P(0|e) Tangenten an den Graphen von fk legen?

Ich habe zunächst eine allgemeine Tangentengleichung für den Berührpunkt u|f(u) aufgestellt und dann den Punkt P eingesetzt. Jedoch komme ich zum Schluss nicht mehr weiter.

Comments

Hi, könntest du das Logarithmieren mal begründen?

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Hi,

ich habe nicht logarithmiert. Ich denke du verwechselst das mit dem u in meinen Exponenten. Ich schmiere immer ein wenig :)

Oder meinst du was anderes?

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Ok, ich glaube, dass ich deine Schrift nicht lesen kann.

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Das geht vielen so, aber ich kriege ich wirklich nicht sauberer hin.

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Vielleicht hiermit:

https://www.matheretter.de/rechner/latex

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(Hm... ich frage mich, warum mein vorstehender Kommentar im Liveticker als Antwort angezeigt wird. Das ist irgendwie irreführend.)

Answer 1

Hallo Simon,

f_k(x)= e-(x+2)*e^-k*x    k∈ℝ

f_k'(x) = e^-kx ·(k·x + 2·k - 1)

B( x_B | f(x_B) )  sei Berührpunkt der Tangente durch  P(0|e)

Tangente:   y  =  f '(x_B) * (x - x₀) + f(x₀)  =  f '(x_B) * x + e

Bestimmungsgleichung für x_B :   f(x_B) = f '(x_B) * x_B + e

mit x_B = x :

e-(x+2)*e^-k*x = e^-kx·(k·x + 2·k - 1) * x + e    | -e  | : e^-k*x 

-(x+2) = (k·x + 2·k - 1) * x 

das ergibt eine quadratische Gleichung, die für k * (k-2) ≥ 0 und k≠0   die Lösungen

 x₁ = (√(k·(k - 2)) - k)/k    ;     x₂ = - (√(k·(k - 2)) + k)/k            hat.

Gruß Wolfgang

Comments

Danke. Soweit ist alles klar, aber was habe ich bei meiner Rechnung falsch gemacht?

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Beim Übergang von der drittletzten Zeile auf die vorletzte wird bei dir aus  -k·u² plötzlich  -u·k²

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Stimmt und ein x habe ich vergessen ;)

Dann komme ich auf

x²-2kx-2=0 und

x1 = (2k + √(4k²-8)) / 2     ...........

Das ist immer noch nicht das wo du hast

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Beim Übergang von Z8 → Z9  ist bei u wohl auch noch ein Minuszeichen verschwunden