Extremalprobleme Tunnel mit größter Querschnittsfläche

Question

wir haben ein neues Thema und ich bräuchte ein wenig Unterstützung.

Ein Tunnel soll die Form eines Rechtecks mit aufgesetztem Halbkreis erhalten. Wie groß ist die Querschnittsfläche maximal wenn der Umfang des Tunnels 20 m betragen soll.

Haupt- und Nebenbedingung:

20m=π*r + 2h

Bei der nächsten Bedingung fällt mir nichts ein, weiß aber dass es umgeformt werden muss um in r oder h einzusetzen/andere Variable eliminieren

Idee: Vielleicht den Querschnitt durch h *2r + 1/2πr² definieren.

Im Unterricht hatten wir eine Aufgabe und per Parabel haben wir die Extremstellen genutzt. Hierbei weiß ich jedoch nicht wie man auf eine Funktion und deren Ableitung kommen soll.

Ich hoffe ihr könnt meinen unvollständigen Gedankengängen folgen und Anregungen geben

Luis

Answer 1

Deine erste Behauptung ist schon mal gut und richtig: 20m=π*r + 2h

Du möchtest ja die Fläche so groß wie möglich gestalten. Stelle einfach mal eine Funktion auf, die die Fläche in Abhängigkeit von r und h beschreibt. Der Extremwert dieser Funktion ist dann gesucht ;)

Comments

ok, hab jetzt für die Höhe 2,8m heraus, wie komme ich jedoch nun auf die Breite des Tunnels und somit den Radius des Halbkreises ?

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20m=π*r + 2h. Die 2,8m für h einsetzen, dann nach r auflösen