Lösung einer Integralrechnung

Question

Berechnen Sie die Maßzahl der Fläche zwischen dem Graphen von f und der x-Achse mit f(x)=-0,5x³+1,25x²+x-0,75 jeweils zwischen der 1. und 2. sowie zwischen der 2. und 3. Nullstelle der Funktion f.

Schon mal Danke vorab.

Answer 1

Nullstellen sind -1   1/2   und 3
also
Integral von -1 bis 1/2 über f(x) dx gibt   -117/128
(Das Flächenmaß also ohne das minus)
und
Integral von 1/2 bis 3 über f(x) dx gibt   1375/384

Stammfunktion hatte ich -1/8x^4  + 5/12 x^3  + 1/2 x^2  - 3/4 x

Comments

Könnten die mir den Lösungsweg komplett aufzeigen, damit ich es einigermaßen nachvollziehen kann?

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wo hakt es denn:

Nullstellen oder Integration ?

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Die berechnung der Nullstellen die Integration bekomme ich dann hin.

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Da hat ullim ja schon was zu geschrieben:

f(x) = 0 und dann mal -2 gibt

x³ - 2,5x² - 2x + 1,5 = 0  

Also durch Raten bekommst du  x=-1

Also Division   (x³ - 2,5x² - 2x + 1,5) : ( x + 1) = x² - 3,5x + 1,5 

x³  + x²

--------------

- 3,5x² - 2x

-3,5x² -3,5x

------------------

1,5x + 1,5

1,5x + 1,5

---------------

                                                                  0

und   x² - 3,5x + 1,5 = o mit pq-Formel oder so gibt x=3 oder x=0,5

Answer 2

Hi,
Du musst zuerst die Nullstellen bestimmen. Eine musst Du raten, da ich davon ausgehe, dass Du die Cardanischen Formeln nicht kennst, richtig?
Durch probieren erhältst Du \( x_1 = -1 \). Danach musst Du eine Polynomdivision durchführen und das Ergebnis mit den üblichen Methoden für quadratische Gleichungen lösen.
Damit hast Du dann alle drei Nullstellen, und Du musst nur noch die Integration ausführen.

Comments

Die Integration bekomme ich hin aber die Nullstellenberechnung, da stehe ich komplett auf dem Schlauch. Könntest du mir die einmal vorgeben dann komme ich bei den folgenden Aufgaben alleine weiter.

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Ja wie gesagt, \( x_1 = -1 \) ist eine Nullstelle. Polynomdivision bedeutet, Du musst
$$ \frac{ -\frac{1}{2} x^3 + \frac{5}{4}x^2 + x - \frac{3}{4} }{x+1}   $$ berechnen. Das Ergebnis ist eine quadratische Gleichung.

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Ich weiß im Prinzip wie die Polynomdivision aussehen muss ich weiß nur gerade nicht wie ich sie korrekt durchführe

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Ja dann probier es mal und schreib auf, was Du hast, dann kann ich auch weiter helfen. Komplette Lösungen gebe ich nicht.

Answer 3

Hi, klammere zunächst \(-0.25\) aus und zerlege dann in Linearfaktoren:
$$ \begin{aligned} f(x) &= -0.5x^3+1.25x^2+x-0.75 \\      &= -0.25\cdot\left(2x^3-5x^2-4x+3\right) \\      &= -0.25\cdot\left(x+1\right)\cdot\left(x-3\right)\cdot\left(2x-1\right) \\ \end{aligned} $$ Die ersten beiden lassen sich durch systematisches Probieren gewinnen, der letzte folgt dann durch Koeffizientenvergleich, denn schließlich muss beim Ausmultiplizieren vorne eine 2 und hinten eine 3 erscheinen.