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Frage wie im Titel und dann dazu noch die Frage, wie man zeigt, dass die Funktion nirgendwo einen Grenzwert besitzt?

Ich stehe leider komplett aufm Schlauch :(
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Die Definition für Stetigkeit lautet:

∀ε>0∃δ>0∀x∈ℤ: |x-x0|<δ ⇒ |f(x) - f(x0)| < ε

Und das ist für alle f wahr, denn für beliebiges ε wählt man einfach δ=1, dann lautet die Aussage:

Für alle ganzen Zahlen x gilt: wenn ihr Abstand zu x0 kleiner ist als 1, dann ist der Abstand zwischen f(x) und f(x0) kleiner als ε.

Nun gibt es aber nur eine Zahl in ℤ, deren Abstand zu x0 kleiner als 1 ist, nämlich x0 selbst. Alle anderen Zahlen haben mindestens den Abstand 1. Damit ist die Bedingung trivial für alle x erfüllt, also ist f überall stetig.

 

Grenzwerte sind nur in Häufungspunkten des Definitionsbereichs definiert, also Punkten, in deren Nähe unendlich viele weitere Punkte liegen.
Das ist in ℤ aber nicht gegeben: legt man eine Kreisscheibe vom Radius R<1 um einen beliebigen Punkt x0, so liegt außer x0 überhaupt kein weiterer Punkt in dieser Scheibe, also ist x0 kein Häufungspunkt.

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