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\( \left(\begin{array}{cccc}{000} & {\ldots} & {001} \\ {000} & {\ldots} & {010} \\ {000} & {\ldots} & {100} \\ {\cdot} & {} & {} \\ {\cdot} & {} & {} & {\cdot} \\ {001}  & {\ldots} & {000} \\ {010}  & {\ldots \ldots \ldots} & {000} \\ {100} & {\ldots \ldots \ldots} & {000}\end{array}\right) \)



Ich muss die Determinate der folgenden n x n Matrizen durch Induktion über n:

Ich hab das probiert.

Behauptung: Alle Matrizen mit einer 1 in der Diagonalen, haben als Determinate die 1.

I.A.: n = 1: det (A) = 1; ( ist ja einfach)

I.S,: n = 2: det (A) = -1;

- nach einer Zeile oder Spalte entwickeln

- Vorzeichenschema für Laplaceschen Entwicklungssatz: Schachbrettmuster

Also, haben als Determinate die 1: wechselt sich das Vorzeichen durch Schachbrettmuster.

Aber habe ich Problem, wie soll ich das Beweis nach n.

Könnt ihr mich die Tipps oder Ansatz geben?

Danke

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Die Behauptung scheint so nicht zu stimmen, denn es gilt

\( \operatorname{det}\left(\begin{array}{lll}{0} & {0} & {I} \\ {0} & {I} & {0} \\ {I} & {0} & {0}\end{array}\right)=-I \)

Die Matrix hat aber auf der Hauptdiagonalen eine 1.

ja stimmt: n = 3 => -1

n = 4 => 1

n = 5 => 1

n = 6 => -1

n = 7 => -1

n = 8 => 1

n = 9 => -1

Es ist nur verschiedenen Vorzeichen! Aber wie kann man beweisen... hm...
Musst du das unbedingt mit Induktion zeigen?
ja, es steht die Aufgabenstellung: "Bestimmen Sie die Determinaten der folgenden n x n Matrizen durch Induktion über n"

 

Also, muss ich das mit Induktion zu zeigen.. Richtig? hm

2 Antworten

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Behauptung:

\( \operatorname{det}\left(A_{n}\right)=(-1)^{\frac{n^{2}-n}{2}} \)

Beweis per Induktion über n.

Induktionsanfang: det(A1) = 1 = (-1)0.

Induktionsvoraussetzung: Es gebe ein  n ∈ ℕ, für welches die Behauptung wahr ist.

Induktionsschritt: Zu zeigen ist, dass die Behauptung für  n + 1  gilt.

Entwicklung nach der ersten Zeile liefert nach Induktionsvoraussetzung

\( \operatorname{det}\left(A_{n+1}\right)=(-1)^{1+n+1} \cdot \operatorname{det}\left(A_{n}\right)=(-1)^{n} \cdot(-1)^{\frac{n^{2}-n}{2}} \\ =(-1)^{\frac{n^{2}+n}{2}}=(-1)^{\frac{(n+I)^{2}-(n+I)}{2}} \)

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Woher hast du die Formel her?

\( \operatorname{det}\left(A_{n}\right)=(-1)^{\frac{n^{2}-n}{2}} \)

Du hast bereits bemerkt, dass  det(An) ∈ {-1,1}  sein muss. Sieht man genauer hin, stellt man fest, dass die Folge  {det(An)}n>0  möglicherweise periodisch ist. Die Sequenz  {1,-1,-1,1}  scheint sich zu wiederholen. Die oben angegebene Formel für  det(An)  liefert für  n > 0  gerade diese Folge. Das rechnet man nach, indem man  n = 4·m + r  mit  m ∈ ℕ  und  r ∈ {0,1,2,3}  setzt. Damit hat man eine Vermutung für die Lösung des Problems. Der Beweis erfolgt dann durch Induktion.

0 Daumen

Ich benutze An, An-1, … für deine Matrizen.

Det A1 = 1

Det A2 = -1 

Nach Entwicklungssatz von Laplace gilt (Entwicklung nach 1. Spalte)

Det A2 = (-1)^3 Det A1

Allg:

Det An = (-1)^{n+1} Det An-1

           = (-1)^{n+1} * (-1)^n * (-1)^{n-1} ..... *(-1)^3* 1

                   |Exponenten von -1 bilden arithmetische Reihe. 

                  |Summe: (n+1+3)(n+1-3+1)/2 = (n+4)(n-1)/2

                   | = (n^2 + 3n -4)/2 = (n^2 +3n)/2 -2

                  |-2 kann man noch weglassen

           = (-1)^ (n*(n+3)/2) 

Beweis.

Verankerung vgl. oben. n=2

Ind. Schritt. Zu Zeigen : Det An+1 = (-1)^ ((n+1)(n+4)/2)

                                = (-1)^ (n^2 + 5n + 4) / 2) = (-1)^{0.5n^2 + 2.5n + 2}

Bew: Det An+1 = (-1)^ (n+1+1) * Det An

= (-1)^ (n+2)* (-1)^ (n*(n+3)/2)

=(-1)^ (n+2 + 0.5 n^2 + 1.5n) = (-1)^{0.5n^2 + 2.5n +2}

 

 

Avatar von 162 k 🚀
Ich sitze auch gerade an der Aufabe und habe mal ein paar Zahlen zur Probe in deine pink unterlegte Formel eingegeben. Bei deiner Formel ist die Reihenfolge der Determinanten -1,1,-1,1 ... Aber wie oben schon in den Kommentaren steht müsste es ja eigentlich 1,-1,-1,1,1,-1,-1 ... sein?
Gemäss WolframAlpha kommt bei dieser Formel das von dir gewünschte raus:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=table+of+%28-1%29%5E%28n%28n%2B3%29%2F2%29++

Ich meinte die von dir markierte Formel.

(-1)0,5n^2+2,5n+2

Wenn man dort Zahlen eingibt, ist das Ergebnis 1,-1,1,-1 ...

Die Formel hast du doch gezeigt?!

Das ist die Formel für An+1 und wie gewünscht um 1 verschoben:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=table+of++%28-1%29%5E%28%28n%5E2+%2B+5n+%2B+4%29%2F2%29

Man muss bei Induktionsbeweisen jeweils den Übergang von n noch n+1 beweisen.

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