Beweis: (sym Matrix) Determinante = Produkt der Diagonalelemente der Diagonalmatrix

Question

Servus an alle Nachteulen, ich sitze grade an meinem Matheaufgabenblatt vor folgender Aufgabe:

Sei A symmetrisch und U orthogonal, so dass U^T AU = diag(k₁,...,k_n).
Zeigen Sie, dass det A = ∏ⁿ_i=1 k_i.

Also ich hatte mir gedacht, den Entwicklungssatz für Determinanten hintereinander auf die Diagonalmatrix anzuwenden, da würden dann nach und nach die Diagonalelemente ausgeklammert werden und letzlich könnte ich bei einer 3x3-Matrix dann die Sarrusregel anwenden.
Das Problem ist nur: Inwiefern haben die Diagonalelemente der Diagonalmatrix etwas mit der Determinante der Originalmatrix A zu tun? Da fehlt mir noch das Brückenglied.

Kann mir jemand auf die Sprünge helfen?

Comments

det (AB) = detA*detB dürfte bekannt sein.

det DIAGONALMATRIX = Produkt der Diagonalelemente.

det (U^T AU) = det (U^T) detA det U.

det U^T = det U

wenn nun U orthonormal wäre, dann wäre detU=1.

Da du nur orthogonal forderst, musst das nicht unbedingt stimmen.