Determinante Diagonalmatrix

Question

Hallo ich soll zeigen, dass det(F) (F Diagonalmatrix) = ∏ⁿ_i=1 (f_ii )

Ich habe folgenden Beweis;

det(F) = det(AA^T) = det(A) * det(A^T) = det(A)² 

Nach der Choleskyzerlegung gilt:

∏ⁿ_i=1 (a_ij )² = (√ f_ii - ∑^i-1_k=1 a²_ij)²

Da F Diagonalmatrix:  ∑^i-1_k=1 g²_ij = 0

und damit: ∏ⁿ_i=1 (f_ii )

stimmt das soweit?

Comments

Ich soll weiter noch beweisen:

Seien weiter || · || die vom Standardskalarprodukt auf dem Rⁿ induzierte Norm und A ∈ R^nXn eine invertierbare Matrix mit Vektoren x1, . . . , xn als Spalten.

|det(A)| ≤ ∏ⁿ_i=1  ||xi||

Es gilt genau dann Gleichheit, wenn die Vektoren x1, . . . , xn bezüglich des Standardskalarproduktes paarweise orthogonal sind. 

Da habe ich leider absolut keine Ahnung.

Answer 1

Habe bei deinem Beweis ein Problem mit negativen Diagonalelementen.

Comments

wenn F positiv definit sollte das nicht vorkommen

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und ich grad einmal müsste bei ∑ k=j sein und bei der unteren g=a