Euklidischer Vektorraum: Matrixdarstellung aus Orthogonalbasis

Question

das ist eine alte Klausuraufgabe und ich könnte eine kurze Erklärung bei folgendem Problem gebrauchen.

Bestimmen Sie die Matrixdarstellung (bezüglich Standardbasis) der Abbildung f element Hom(R^3 , R^3) gegeben durch

f(u) = 2 <w1,u>w1 + 3<w2,u>w2 - 2<w3,u>w3

w1 = (sqrt(2)/2, -sqrt(2)/2,0)

w2 = (0,0,1)

w3  = (sqrt(2)/2, sqrt(2)/2, 0)

Ich denke ich muss jetzt in f(u) für u die Basisvektoren e1, e2, e3 nacheinander einetzen oder?

für e1 wäre das dann

f((1,0,0)) = 2 <(sqrt(2) / 2, - sqrt(2) / 2, 0), (1,0,0)> *(sqrt(2)/2, -sqrt(2)/2,0) + 0 - 2 * <(sqrt(2)/2, sqrt(2)/2, 0),(1,0,0)> *(sqrt(2)/2, sqrt(2)/2, 0)

Aber wenn ich das jetzt ausrechne kommt ein skalar raus und kein Vektor... Was mach ich falsch?

Answer 1

Deine Idee ist ganz richtig, aber die Rechnung nicht:

f((1,0,0)) = 2 <(sqrt(2) / 2, - sqrt(2) / 2, 0), (1,0,0)> *(sqrt(2)/2, -sqrt(2)/2,0) + 0 - 2 * <(sqrt(2)/2, sqrt(2)/2, 0),(1,0,0)> *(sqrt(2)/2, sqrt(2)/2, 0)

besser so
f((1,0,0)) = 2 <(sqrt(2) / 2, - sqrt(2) / 2, 0), (1,0,0)> *(sqrt(2)/2, -sqrt(2)/2,0)
                        + 0*( 0  ,  0  ,  1 )   Der 2. Summand ist dann der Nullvektor.
                        - 2 * <(sqrt(2)/2, sqrt(2)/2, 0),(1,0,0)> *(sqrt(2)/2, sqrt(2)/2, 0)

= 2* (sqrt(2) / 2) * (sqrt(2)/2, -sqrt(2)/2,0)Das blaue ist das Erg. vom Skalarprodukt
                                                                         und diese Zahl mal     Vektor w1
   + 3*Nullvektor
   -2 * (sqrt(2) / 2) * *(sqrt(2)/2, sqrt(2)/2, 0)

= 2 * ( 1/2   ,      -1/2     ,     0)
     + 3*Nullvektor
   -2 * ( 1/2   ,      1/2     ,     0)
= ( 0 , 0,  0 )

D.h. Die erste Spalte deiner Matrix besteht aus 3 Nullen.

Comments

Warum benutzt du eigentlich kein TeX? Bei so vielen Antworten würde sich das doch lohnen.

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Mache ich manchmal, könnte ich wirklich intensivieren.

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Also ich habe die Musterlösung gefunden zu der Aufgabe, danke für deine Mühe, aber ich glaube Du liegst falsch.

f(e1) = 2 * sqrt(2)/2 * w1 - 2 *sqrt(2) / 2 *w3  = (1,-1,0) - (1,1,0) = (0,-2,0)

Aber vielleicht habe ich mich auch irgendwo vertippt und daher gibt es den Fehler.

Könntest Du mir folgendes erklären?

= 2* (sqrt(2) / 2) * (sqrt(2)/2, -sqrt(2)/2,0)Das blaue ist das Erg. vom Skalarprodukt 
                                                                         und diese Zahl mal     Vektor w1 

Wieso multipliziere ich das noch mit den Vektor w1? Oder setze ich nur nur im Skalarprodukt w1 ein und e1 ein? also <w1,e1>*w1  =  <(sqrt(2) / 2, - sqrt(2) / 2, 0), (1,0,0)>  * w1 ?

Wenn ja, wieso mach ich das und noch besser, wieso darf ich das?

Du bist dabei mich zu retten, danke ;)

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Das stand doch in der Vorgabe

f(u) = 2 <w1,u>w1 + 3<w2,u>w2 - 2<w3,u>w3

immer ein Skalarprodukt ( z.B.:    <w1,u> und das Ergebnis * w1

Kann durchaus sein, dass ich da auch mal eine Zahl verrechnet hab,

passiert mir öfters.

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Vielen Dank,

jetzt sehe ich was Du meinst und wie sich der Rest der Aufgabe ergibt, aber verstehen tu ich es trotzdem nicht..

Der Vektor f(u) wird als Linearkombination dargestellt aus w1, w2 und w3.  Eine Linear Kombination besteht immer aus einem Vektor und einem Skalar. So muss man in diesem Fall 2 <w1,u> quasi als Skalar zu w1 betrachten?

Das klingt sicherlich komisch, aber ich verstehe nicht wieso man beim Skalarprodukt w1 einsetzt und das folgende w1 wird als w1 betrachtet..

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So muss man in diesem Fall 2 <w1,u> quasi als Skalar zu w1 betrachten?

Genau so ist es. Der ganze Ansatz erinnert mich irgendwie sehr

an Orthogonalisierungsverfahren, falls ihr das schon hattet.

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Super,

vielen Dank. Ja mit dem Verfahren wurden w1, w2 und w3 erst bestimmt ;)