Differenzierbarkeit mit arctan. f(x):= (x+1)² / (arctan(x+1))

Question

Wir betrachten die Funktion f: R → R,

mit f(x) = (x+1)² / (arctan(x+1)) für x ≠ -1
            = 0                                  für x = -1

Zeigen Sie, dass f in -1 differenzierbar ist und bestimmen Sie f ' (-1)

Wie kriege ich bei der Differenzierbarkeit unterm Bruch die arctan aufgelöst? :/

Answer 1

\(f\) ist an der Stelle \(x_0\in \cal D\) differenzierbar, wenn der Grenzwert$$c=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}h$$existiert. Es gilt dann \(f'(x_0)=c\). Setze nun \(x_0=-1\). Dann ist$$\frac{f(-1+h)-f(-1)}h=\frac{\frac{(-1+h+1)^2}{\arctan{(-1+h+1)}}-0}h=\frac h{\arctan h}.$$ Mit l'Hospital folgt$$f'(-1)=c=\lim_{h\to0}\frac h{\arctan h}=\lim_{h\to0}\frac1{\frac1{1+h^2}}=1.$$

Comments

sehr gut - da wollt ich auch hin, aber irgendwie hab ich den Ansatz vermurkst!

Answer 2

$$ \frac{(x+1)^2}{\arctan(x+1)}  $$
$$u=x+1$$
$$ \frac{u}{\arctan(u)}  $$
$$ \lim_{h\rightarrow 0}\frac{u+h}{\arctan(u+h)}  $$

Comments

Was ist damit gezeigt?

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noch nichts - das war nur ein Vorschlag eines Ansatzes

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... taugt aber nicht viel, hab ich grad festgestellt

Answer 3

mit f(x) = (x+1)² / (arctan(x+1)) für x ≠ 1
            = 0                                  für x = 1

Ich nehme an es heißt

mit f(x) = (x+1)² / (arctan(x+1)) für x ≠ -1
            = 0                                  für x = -1

Zeigen Sie, dass f in -1 differenzierbar ist und bestimmen Sie f ' (-1) 

Die erste Ableitung ist bereits ein Lindwurm und ist als Bruch 0 / 0

Ein Fall für l´Hospital.
Dies hat mein Matheprogramm erledigt und kommt es noch ein erschreckender
Lindwurm heraus.

Dessen Wert ist allerdings 1. Also
f ´( -1 ) = 1

Ich kann noch einen Bildschirmausdruck hinzufügen.
schon gemacht.

Comments

Du solltest dein Mathe-Programm überprüfen.

Ohne ein solches :  Einmal l'Hospital angewandt ergibt   f ' (-1) = lim_x→-1 1 / [1 / ( (x+1)² + 1 ) ]  =  1

und das ist wahrlich kein Lindwurm.

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Unglücklichsterweise weiß ich nicht wie du auf den
Term gekommen bist.

Einmal l'Hospital angewandt

Auf welchen Term hast du l´Hospital angewendet ?

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f '(x₀) = lim_x→x0 ( f(x) - f(x₀) ) / (x - x₀)
      =  lim_x→-1 ( f(x) - f(-1) ) / (x - (-1))
      =  lim_x→-1 ( (x+1)² / (arctan(x+1)) - 0 ) / (x +1)
      =  lim_x→-1  (x+1) / arctan(x+1)

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Der Unterschied zwischen den beiden Berechnungarten lag also darin
- das ich die Ableitung für die gesamte Funktion gebildet habe
und
- du nur für x0 = -1
Dadurch ergab sich diese wesentliche Vereinfachung.

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An allen anderen Stellen kann man ja einfach die Quotientenregel anwenden. Die einzige Stelle, die man gesondert untersuchen musste, war x=-1.

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Georg :  Lass mich den wesentlichen Unterschied mal deutlich herausarbeiten :

Das Problem, die Differenzierbarkeit einer Funktion an einer Stelle x₀ nachzuweisen, trat ja schon öfter mal auf.

Deine Methode war dann immer folgende : Du hast die Ableitung  f '(x)  für  x ≠ x₀  gebildet, und hast untersucht, ob der Grenzwert lim_x→x0 f '(x)  existiert  (was in der Tat zu einigermaßen komplizierten Rechnungen führen kann).

Nun gilt folgender Satz :  Wenn der Grenzwert  c = lim_x→x0 f '(x)  existiert , dann ist f an der Stelle x₀ differenzierbar und es ist f ' (x₀) = c .

Die Umkehrung des Satzes ist jedoch falsch !  Es kann durchaus sein, dass der besagte Grenzwert   lim_x→x0 f '(x)  nicht existiert, aber f an der Stelle x₀ trotzdem differenzierbar ist.  In diesem Fall (und eigentlich am besten generell von vornherein) muss auf die Definition der Differenzierbarkeit zurückgegriffen werden, d.h. es ist eben zu untersuchen, ob der Grenzwert des Differenzenquotienten    lim_x→x0 ( f(x) - f(x₀) ) / (x - x₀)  existiert, der dann die Ableitung von f an der Stelle x₀ ist.

Bei der vorliegenden Aufgabe war von Anfang an nur die Stelle   x₀ = -1  zu untersuchen.

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"Nun gilt folgender Satz :  Wenn der Grenzwert  c = lim_x→x0 f '(x)  existiert , dann ist f an der Stelle x₀ differenzierbar und es ist f ' (x₀) = c ."

Das stimmt nicht. Für die Funktion \(f(x):=\begin{cases} 0, x\neq 0 \\ 1, x=0\end{cases}\) exisiert \(\lim_{x\to 0} f'(x)\) (dieser Grenzwert ist nämlich 0), aber f ist nicht differenzierbar in 0.

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Da hast du natürlich zweifellos Recht. Wie komm' ich denn auf diesen Satz ?  Gilt er für stetige Funktionen ?

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Ein Gegenbeispiel fällt mir nicht ein, aber ich habe auch noch keinen Beweis gefunden.

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Danke zunächst mal dafür.

Hast du einen Beweis oder Gegenbeispiel dafür, dass wenn die links- und rechtsseitigen Grenzwerte von f '(x) existieren aber verschieden sind, dass dann f an der Stelle x₀ nicht differenzierbar ist ?

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@nick
betr. dein Kommentar 4 Beiträge zuvor.
Die Funktion f(x) ist doch nicht stetig. Stetigkeit ist doch Voraussetzung
für Differenzierbarkeit. Oder?

Mich interessiert nur noch eins.
Die Funktion des Fragestellers ist stetig. Für x0 = -1 als Punkt definiert.
Der linke und rechte Grenzwert der Ableitung können gebildet werden
und sind gleich 1.
Dem Punkt x0 kann, weil ein Punkt, keine Steigung zugewiesen werden.

Ist, ähnlich einer hebbaren Lücke, die Differenzierbarkeit für x0 = -1
trotzdem gegeben ?

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Bei 0 ist meine Funktion ja auch nicht differenzierbar. Aber überall sonst.
Wenn eine Funktion an einer Stelle nicht definiert ist, dann kann man dort natürlich auch keine Differenzierbarkeit überprüfen.
"Dem Punkt x0 kann, weil ein Punkt, keine Steigung zugewiesen werden."
Naja, um die Ableitung zu bestimmen, muss man sich ja die Funktion in einer Umgebung um diesen Punkt anschauen. Hier ist die Funktion bei x=-1 differenzierbar.

@gast: Zu deiner letzten Frage würde ich vermuten, dass f an der Stelle \(x_0\) nicht differenzierbar ist, hatte aber bis jetzt noch keine Zeit, mir über einen Beweis Gedanken zu machen. Wenn mir  was einfällt, melde ich mich nochmal.

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@nick
@gast: Zu deiner letzten Frage würde ich vermuten, dass f an der Stelle x0
x0 nicht differenzierbar ist,

Hier ein vergleichbares Beispiel von heute

https://www.mathelounge.de/209355/differenzierbarkeit-prufen

bei dem schon in der Frage gesagt wird " die Funktion ist in x = 1  differenzierbar ".