Ist f eine konstante Funktion auf einem Intervall, dann ist f differenzierbar und die Ableitung ist identisch gleich 0.

Question

hier eine Frage

Ist f eine konstante Funktion auf einem Intervall, dann ist f differenzierbar und die Ableitung ist identisch gleich 0.

Zeigt bitte explizit mit der Definition, dass f differenzierbar ist, falls f konstant ist.

Bitte mit (Phi) ngeben

Answer 1

Hi,
$$\frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0} = 0$$ da ja $f(x) = f(x_0)$ gilt. Jetzt den Grenzwert bilden, ergibt $f' =0$
Und was meinst Du mit $\phi$

Comments

Dies ist ja noch nicht bewiesen. Ich glaube er meint damit 

f(p + h) = f(p) + Φf (h) · h

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Hi kenne noch folgende Definition, kommt aus der mehrdimensionalen Analysis.

Eine Funktion ist in $x_0$ total differenzierbar wenn es eine lineare Abbildung $L$ gibt, s.d. 

$$(1) \quad f(x_0 + h) = f(x_0) +Lh + r(h)$$ gilt, mit $\frac{|| r(h)||}{h} \to 0$ für $h \to 0$

Wenn jetzt $f$ eine konstante Funktion ist, kann man $r = 0$ wählen, weil dann (1) gilt mit $L = 0$

D.h. die Ableitung der konstanten Funktion ist 0, wie schon vorher in eindimensionalen Fall gezeigt.

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Kannst du das vielleicht auch noch einmal mit dem Mittelwertsatz der differentialrechnung beweisen?

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Hi,
es gilt $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(\xi)$. Die linke Seite ist aber Null, also gilt $f'(\xi) = 0$. Da das für alle $x$ und $x_0$ gilt, folgt $f' = 0$

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Ein bisschen genauer sollte man schon argumentieren.
Der Mittelwertsatz sagt hier aus, dass für alle $x_0,x$ mit $x_0\neq x$ ein $\xi\in (x_0,x)$ (bzw. $(x,x_0)$) existiert mit $f'(\xi)=0$. Warum folgt jetzt daraus, dass $f'(x)=0$ für alle $x$ gilt?
(@ghgw: Wieso willst du hier überhaupt unbedingt den Mittelwertsatz benutzen? Das ist hier völlig unnötig.)