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Mit R sind die reellen Zahlen gemeint und H bezeichnet die Quaternionen.
 

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a) und b) sind recht leicht zu zeigen.

 

Zu zeigen ist nämlich: (kv + lw) x u = n(v x u) + m(w x u) mit k, l ∈ ℝ und v, w, u ∈ V.

Dafür zerlegt man v, w und u in die Darstellung mit imaginären Einheiten:

v = ai + bj + ck

w = di + ej + fk

⇒ nv + mw = (na + md)i + (nb + me)j + (nc + mf)k

u = hi + oj + pk

und setzt nun in die Definition ein:

(kv + lw) x u = ((nb+me)p - (nc+mf)o) i + ((nc + mf)h - (na + md) p) j + ((na + md)o - (nb + me)h)k

= n(bp-co)i + m(ep - fo)i + n(ch - ap)j + m(fh - dp)j + n(ao - bh)k + m (do - eh) k

= n((bp-co)i + (ch- ap)j + (ao - bh)k) + m((ep - fo)i + (fh - dp)j + (do - eh)k)

= n(ai + bj + ck) x (hi + oj + pk) + m(di + ej + fk) x (hi + oj + pk)

= n (v x u) + m (w x u)

 

Und nun noch die analoge Rechnung für das zweite Element.

b) folgt direkt eigentlich ohne Nachrechnen aus der Definition:

Sei

v = ai + bj + ck

w = di + ej + fk

Dann gilt:

v x w = (bf - ec)i + (cd - af)k + (ae - bd)k

= -((ec - bf) i + (af - cd)k + (bd - ae)k

= -((di + ej + fk) x (ai + bj + ck))

= - (w x v)

 

Bei den anderen Aufgaben tue ich mich etwas schwer, weil ich sowas noch nie gemacht habe, so einen Eindeutigkeitsbeweis.
von 10 k
der zweite teil der rechnung gehört aber noch zu a) oder ist das schon b) ?
Ja, das ist richtig, das ist ein bisschen durcheinander gegangen :-)
Dementsprechend hat mich auch deine erste Frage ein bisschen verwirrt, ich habs ja nachgerechnet, aber irgendwie ist das an die falsche Stelle gerutscht!

Ich korrigiere das schnell.

 

(Das x ist ein Kreuz, ja. Für ein Mal benutze ich (wenn überhaupt) ein * oder (meistens) ein ·

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