Extrema ak(t)=3*t*e^{-k*t}

Question

Ich komme einfach nich weiter. Ich soll die Extreme von a_k(t)=3·t·e^-k·t  bestimmen.

Dafür möchte ich die erste Ableitung = 0 setzen, also

a'_k(t)=3e^-(kt)-3kt·e^-(kt) = 0

Und ab dort hängt es, ich weiß nicht wie ich hier nach t auflösen soll.

Kann mir da jemand helfen?

Danke

Answer 1

Ich hoff's:

3 * e^{-kt} - 3kt * e^{-kt} = 3 * e^{-kt} * (1 - kt)

Da 3 * e^{-kt} sicher ungleich null ist, muss gelten 1 - kt = 0 und damit t = 1 / k

Wie funktioniert das mit dem Formeleditor?

3\quad *\quad { e }^{ -kt }\quad -\quad k\quad *\quad t\quad *\quad { e }^{ -kt }\quad =\quad 3\quad *\quad { e }^{ -kt }\quad *\quad (1\quad -\quad t\quad *\quad k)\\ \\ Dieser\quad Ausdruck\quad soll\quad gleich\quad Null\quad sein,\quad also:\\ \\ 3\quad *\quad { e }^{ -kt }\quad *\quad (1\quad -\quad t\quad *\quad k)\quad =\quad 0\\ \\ Es\quad ist\quad sicher,\quad dass\quad 3\quad *\quad { e }^{ -kt }\quad \neq \quad 0,\quad daher\quad muss\quad (1\quad -\quad t\quad *\quad k)\quad =\quad 0\quad \\ sein.\\ \\ ->\quad t\quad =\quad 1\quad /\quad k

Comments

Tut mir Leid, ich kann dir nicht so ganz folgen

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Wo hängt es?

Ich wünschte, ich würde den Formeleditor kapieren. Mit TeX kenn ich mich leider nicht aus.

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Möglicherweise ist bei mir die Formelansicht verbuggt, jedenfalls sehe ich unten nur "3/quad/* [...] "

Ansonsten nur:
"

3 * e^-kt - 3kt * e^-kt = 3 * e^-kt * (1 - kt)

Da 3 * e^-kt sicher ungleich null ist, muss gelten 1 - kt = 0 und damit t = 1 / k
"

Woher kommt das (1 - kt) und warum hast du die Gleichung mit einer anderen gleichgesetzt?

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jo, einen punkt für das erkennen von "3/quad usw.". ich kapiere nicht, wie ich diesen tex formalismus auf dem forum darstellen kann.

Ok, das "ansonsten" ergibt sich wie folgt:

3 * e^-kt - 3kt * e^-kt  ,    (1)

von diesem Ausdruck ausgehend, klammern wir (3 * e^-kt) aus.

Das Ergebnis ist 3 * e^-kt * (1 - kt),    (2)

und durch Multiplikation in (2) kannst du dich davon überzeugen, dass er äquivalent zum ersten Ausdruck (1) ist.

Soweit klar? Falls nicht, noch einmal nachfragen. Falls doch:

3 * e^-kt * (1 - kt) soll Null sein und das kann nur dann sein, wenn (1-kt) = 0 ist.

Es ist offensichtlich 3 ungleich null, auch eine Potenz ist immer ungleich null und damit bleibt nur der letzte Faktor (1-kt), der gleich Null sein kann.

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Jetzt hab ich's,
dankeschön für die Hilfe um diese Uhrzeit!