Besitzt eine 5x5/6x6-Matrix stets einen reellen Eigenwert / Eigenvektor?

Question

Das sind eigentlich 2 fragen:

1) Besitzt eine 5x5 matrix stets einen reellen eigenwert??

2) Besitzt eine 6x6 matrix stets einen reellen eigenvektor???

Comments

Welchen Grad hat jeweils das charakteristische Polynom?

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Also eine 5x5 matrix hat einen grad von 5 das heist die haben mindestens einen eigenwert weill sie eine ungerade nummer ist.

Eine 6x6 had einen grad von 6 also hat es nicht stets einen reellen eigenvektor???

Answer 1

Annahme: Die gegebenen Matrizen haben nur reelle Elemente.

Besitzt eine 5x5-Matrix stets einen reellen Eigenwert?

Ja. Das charakteristische Polynom hat den Grad 5. Und Polynome von ungeradem Grad haben immer mindestens eine reelle Nullstelle. (Vgl. Satz..... im Skript)

Eine 6x6-Matrix könnte dagegen aussschliesslich komplexe Eigenwerte haben. 

Die Bildvektoren von reellen Eigenvektoren sind spätestens nach der Multiplikation mit dem Eigenwert keine reellen Vektoren mehr. Daher müsste die Antwort zu 2) mE heissen: Nein.