Bestimme einen Eigenvektor zum größten Eigenwert der Matrix (√5 in der 3*3-Matrix)

Question

Bestimme einen Eigenvektor zum größten Eigenwert der Matrix:

$$\left( \begin{array} { c c c } { 1 } & { 0 } & { 2 } \\ { 0 } & { 1 } & { \sqrt { 5 } } \\ { 2 } & { \sqrt { 5 } } & { 1 } \end{array} \right)$$

Answer 1

Da hilft wohl nichts, du musst das charakteristische Polynom aufstellen:

$$P ( \lambda ) = \left| \begin{array} { c c c } { 1 - \lambda } & { 0 } & { 2 } \\ { 0 } & { 1 - \lambda } & { \sqrt { 5 } } \\ { 2 } & { \sqrt { 5 } } & { 1 - \lambda } \end{array} \right| = ( 1 - \lambda ) ^ { 3 } - 4 ( 1 - \lambda ) - 5 ( 1 - \lambda )$$

Die Eigenwerte sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms. Eine lässt sich leicht finden, nämlich λ₁=1.

Damit bleibt übrig (wenn man durch (1-λ) teilt):

$$\begin{array} { l } { 0 = ( 1 - \lambda ) ^ { 2 } - 4 - 5 } \\ { 0 = ( 1 - \lambda ) ^ { 2 } - 9 } \\ { 0 = ( ( 1 - \lambda ) - 3 ) ( ( 1 - \lambda ) + 3 ) } \end{array}$$

Damit erhält man die anderen beiden Eigenwerte zu:

λ₂ = -2
λ₃ = 4

Der größte Eigenwert ist also 4. Um einen Eigenvektor zu bestimmen, muss der Eigenwert in die Matrix (A-λE) eingesetzt werden und ihr Kern bestimmt werden:

$$\left( \begin{array} { c c c } { 1 - 4 } & { 0 } & { 2 } \\ { 0 } & { 1 - 4 } & { \sqrt { 5 } } \\ { 2 } & { \sqrt { 5 } } & { 1 - 4 } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c c } { - 3 } & { 0 } & { 2 } \\ { 0 } & { - 3 } & { \sqrt { 5 } } \\ { 2 } & { \sqrt { 5 } } & { - 3 } \end{array} \right) \sim \left( \begin{array} { c c c } { 1 } & { 2 \sqrt { 5 } } & { - 4 } \\ { 0 } & { - 3 } & { \sqrt { 5 } } \\ { 0 } & { - 3 \sqrt { 5 } } & { 5 } \end{array} \right) \\ \sim \left( \begin{array} { c c } { 1 } & { 2 \sqrt { 5 } } & { - 4 } \\ { 0 } & { 1 } & { - \frac { \sqrt { 5 } } { 3 } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) \sim \left( \begin{array} { c } { 1 } & { 0 } & { - \frac { 2 } { 3 } } \\ { 0 } & { 1 } & { - \frac { \sqrt { 5 } } { 3 } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right)$$

Damit erhält man z.B. den Eigenvektor:

v₃ = (2/3, √5/3, 1)

(Ich habe den EV hier mit dem Gaußalgorithmus bestimmt. Wenn dir das nicht liegt, kannst du auch die Gleichung

(A-λE)*v = 0

ausmultiplizieren und das entstehende lineare Gleichungssystem lösen.)

Answer 2

[1-k, 0, 2]
[0, 1-k, √5]
[2, √5, 1-k]

Determinante bilden und glich Null setzen:

-k^3 + 3k^2 + 6k - 8 = 0

Erste Nullstelle durch probieren suchen:

Erste Nullstelle bei 1 gefunden

Polynomdivision

(-k^3 + 3k^2 + 6k - 8) : (k - 1) = (k^2 - 2k - 8)

Das neue Polynom hat mit pq-Formel die Lösungen

k = 4 und k = -2

Der größte Eigenwert ist hier also 4. Das setzte ich ein

[-3, 0, 2]      [a]     [0]
[0, -3, √5] * [b] = [0]
[2, √5, -3]    [c]    [0]

Lösung ist hier: [2/3 c, √5/3 c, c]