Grenzwert nachweisenlim x->0 [1/(x^2+x)-(ln(1+x))/(x^2)] =-1/2

Question

Ich komme hier irgendwie mit l'hospital immer nicht auf das ergebniss....

Weisen Sie nach das lim x->0 [1/(x^2+x)-(ln(1+x))/(x^2)] =-1/2 für tipps oder lösung wäre ich dankbar.

Comments

Hat sich erledigt, ich habs

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Kannst ja deine Lösung als Antwort hier posten, damit die Frage wenigstens als beantwortet angezeigt wird.

Answer 1

$$\lim_{x \to 0} \left [\frac{1}{(x^2+x)}-\frac{\ln(1+x)}{x^2} \right ]=\lim_{x \to 0}  \left[ \frac{1}{x(x+1)}- \frac{\ln(1+x)}{x^2}\right]=\lim_{x \to 0} \frac{x-(x+1) \ln{(1+x)}}{x^2(x+1)} \overset{\text{DLH}}{=} \lim_{x \to 0} \frac{1-\ln(1+x)-1}{2x(x+1)+x^2}=\lim_{x \to 0} \frac{-\ln(1+x)}{x(3x+2)} \overset{\text{DLH}}{=} \lim_{x \to 0} \frac{-\frac{1}{1+x}}{(3x+2)+3x}=\lim_{x \to 0} \frac{-1}{(1+x)(6x+2)}=-\frac{1}{2}$$