Frage zur Differenzierbarkeit

Question

Eine Frage zur Differenzierbarkeit:

Angenommen ich müsste eine Funktion auf Differenzierbarkeit untersuchen, die an einer Stelle $x_0$ nicht differenzierbar sein könnte.

Muss dann $\lim \limits_ {x \to x_0\atop x<x_0}{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}} = \lim \limits_{x \to x_0\atop x>x_0}{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}=f(x_0)$ sein oder nur $\lim \limits_{x \to x_0\atop x<x_0}{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}} = \lim \limits_{x \to x_0\atop x>x_0}{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}$?

Answer 1

$$\lim_{x \to x_0\atop x<x_0}{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}=\lim_{x \to x_0\atop x>x_0}{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}=f(x_0)$$

Diese Aussage ist so nicht richtig. Du musst betrachten, dass deine Grenzwerte die Ableitung angeben:

$$\lim_{x \to x_0\atop x<x_0}{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}=\lim_{x \to x_0\atop x>x_0}{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}=f'(x_0)$$

Das einzige,was du zeigen musst ist:
$$\lim _{ x\to x_{ 0 } }{ \frac { f(x)-f(x_{ 0 }) }{ x-x_{ 0 } } }$$ existiert.

Ob du jetzt links- und rechtseitigen Grenzwert betrachten musst, hängt von der Form der Funktion ab.