Frage zur Differenzierbarkeit

Question

Eine Frage zur Differenzierbarkeit:

Angenommen ich müsste eine Funktion auf Differenzierbarkeit untersuchen, die an einer Stelle \(x_0\) nicht differenzierbar sein könnte.

Muss dann \(\lim \limits_ {x \to x_0\atop x<x_0}{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}} = \lim \limits_{x \to x_0\atop x>x_0}{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}=f(x_0)\) sein oder nur \(\lim \limits_{x \to x_0\atop x<x_0}{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}} = \lim \limits_{x \to x_0\atop x>x_0}{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}\)?

Answer 1

$$ \lim_{x \to x_0\atop x<x_0}{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}=\lim_{x \to x_0\atop x>x_0}{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}=f(x_0) $$

Diese Aussage ist so nicht richtig. Du musst betrachten, dass deine Grenzwerte die Ableitung angeben:

$$ \lim_{x \to x_0\atop x<x_0}{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}=\lim_{x \to x_0\atop x>x_0}{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}=f'(x_0)$$

Das einzige,was du zeigen musst ist:
$$\lim _{ x\to x_{ 0 } }{ \frac { f(x)-f(x_{ 0 }) }{ x-x_{ 0 } }  }  $$ existiert.

Ob du jetzt links- und rechtseitigen Grenzwert betrachten musst, hängt von der Form der Funktion ab.