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Ich habe versucht einen zweiten Weg zur mittleren Änderungsrate zu finden.
Dafür muss ich folgendes beweisen:

$$ \frac { f(x)-f({ x }_{ 0 }) }{ x-{ x }_{ 0 } } =\frac { f'(x)-f'({ x }_{ 0 }) }{ n } $$

Der rechte Term muss nur für die Form $$ f(x)=a{ x }^{ n }+m $$ gelten.
Um das zu beweisen muss ich einen Fehler in folgendem Versuch umgehen: Beweis_zur_durchschnittlichen_Änderungsrate.pdf (0,2 MB)

Hier habe ich folgende Rechnung:$$  \frac { a{ x }^{ n }-a{ { x }_{ 0 } }^{ n } }{ x-{ x }_{ 0 } } =\frac { a{ x }^{ n } }{ x } -\frac { a{ { x }_{ 0 } }^{ n } }{ { x }_{ 0 } } =a{ x }^{ n-1 }-a{ { x }_{ 0 } }^{ n-1 } $$

Der Fehler ist im mittleren Term, man kann nämlich nicht einfach den Bruch aufsplitten, oder doch? Ich muss aber trotzdem zum rechten Ergebnis kommen. Wenn das nicht funktioniert, dann würde mir eine möglichst vereinfachte Form trotzdem weiterhelfen. Eine mögliche alternative Form für den oberen rechten Term:
$$ \frac { f'(x)-f'({ x }_{ 0 }) }{ ? } $$

von

1 Antwort

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Der Fehler ist im mittleren Term, man kann nämlich nicht einfach den Bruch aufsplitten, oder doch? I
Kann man nicht.

Bin mir auch nicht sicher, ob es einen sinnvollen 2. Weg gibt.
Allenfalls näherungsweise Sinn machen würde vielleicht  ( f'(x)-f'(xo) ) / 2
oder mit dem integralen Mittel

$$\frac { 1 }{ b-a } \int _{ a }^{ b }{ f'(x)dx } $$
aber das ist letztlich das gleiche wie die
Formel über den Differenzenquotienten.
von 228 k 🚀

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