Mittlere Steigung über Mittelwert der Steigungswerte bestimmen. f(x) = ax^2 + bx + c

Question

ich habe noch eine Frage.

Beim rumprobieren ist mir folgendes Phänomen aufgetaucht. Gegeben sei eine beliebige quadratische Funktion der Form f(x) = ax² + bx + c, als Beispiel f(x) = 3x² +2x +5.

Zu bestimmen ist die mittlere Steigung im Intervall [3;6].

Jetzt würde ich ja, wie in der Schule gelernt, den Differenzenquotienten bilden mit Δf(x) / Δ(x) und komme auf eine mittlere Steigung von 29. 

f(6) = 125; f(3) = 38. Rechnung (125-38) / (6-3) = 29

Jetzt habe ich folgendes gemacht. Ich habe die erste Ableitung bestimmt. Also f´(x) = 6x +2 und die beiden Steigungen für die Stellen 3 und 6 berechnet.

f´(3) = 20 und f´(6) = 38.

Berechne ich jetzt den Mittelwert dieser beiden Steigungen komme ich auch auf eine mittlere Steigung von 29. Zufall oder Glück? Das klappt bei allen quadratischen Funktionen.

Aber, und jetzt zu meiner Frage. Bei Funktionen höheren Polynomgrades, also f(x) = x³ und höher funktioniert dieses "Verfahren" nicht mehr. Kann mir jemand kurz erklären, warum dies so ist?

Danke.

Answer 1

Hi,

dies liegt an dem folgenden Prinzip: \( x \neq y\)

$$ \frac{f(x)-f(y)}{x-y} = \frac{ax^2+bx-ay^2-by}{x-y} = a(x+y) + b = \frac{(2ax+b) + (2ay+b)}{2} = \frac{f'(x)+f'(y)}{2}$$

Schön, dass dir das aufgefallen ist :)

Gruß

Answer 2

Das geht bei allen quadratischen Funktionen.

Grund: Die Ableitung ist eine lineare Funktion. Der Mittelpunkt einer Strecke auf einem linearen Graphen liegt immer auf durchschnittlicher Höhe im fraglichen Intervall.

Beweisskizze (formal)

f(x) = ax² + bx + c

f ' (x) = 2ax + b        |lineare Funktion. ohne Einschränkung der Allgemeinheit: Intervall [u,v], v>u.

m1 = 0.5 ((2au + b)/(v-u) + (2av + b)/(v-u)) = ....

vereinfachen und

vergleichen mit

m2 = ((av^2 + bv + c) - (au^2 + bu + c))/(v-u)

(v-u) im Nenner stimmt schon mal überein. Bei m2 fällt c sofort raus.