Symmetrie von Funktionsgraphen. ft(x) = (1-t^2)x^3 + tx^2 - (1+t)x

Question

Aufgabe:

Gegeben ist für \( t \in \mathbb{R} \) die Funktionenschar \( f_{t} \) durch \( f_{t}(x)=\left(1-t^{2}\right) x^{3}+t x^{2}-(1+t) x \).

a) Für welchen Wert von \( \mathrm{t} \) ist die Funktion \( \mathrm{f}_{t} \) ungerade?

b) Für welchen Wert von \( t \) ist die Funktion \( f_{t} \) gerade?

c) Welche der Scharfunktionen haben einen achsensymmetrischen Graphen?

d) Welche der Scharfunktionen haben einen punktsymmetrischen Graphen?

Answer 1

a) f ist ungerade, wenn nur ungerade Potenzen von x vorkommen. 

Das ist der Fall, wenn t=0.

b) t = -1.

c) Achsensymmetrie zur y-Achse: dasselbe wie b)

Achsensymmetrie überhaupt. t = 1 oder t = -1

d) Punktsymmetrie zum Ursprung: t = 0

Punktsymmetrie überhaupt: t beliebig (ausser t=1 und t=-1, da alle Polynome 3. Grades zum Wendepunkt symmetrisch sind (und Geraden punktsymmetrisch sind zu jedem ihrer Punkte).

==> (t^2 - 1) ≠ 0 genügt.

==> t≠1 und t≠-1 genügt hier. 

Theorie zur Symmetrie z.B. hier: https://www.matheretter.de/wiki/achsensymmetrie

Einführung hier: 

Answer 2

Für t den Wert 0,1,2  einsetzen und prüfen !

Es gilt  f( - x)  =  f (x)  -----> Symmetrie  zur Achse .