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Gegeben sei die Funktion f(x) = ex - 4x2

1.Zeigen Sie, dass die Folge     x(n+1) = 1/2ex(n) / 2     (**)     für jedes x(0) ∈ [0,1] gegen die eindeutige Nullstelle der Funktion f im Intervall [0,1] konvergiert. Benutzen Sie dabei den Banachschen Fixpunktsatz. 

2. Welche Fixpunktfunktion erhält man, wenn man zur Lösung der Gleichung   (**) das Newton-Verfahren verwendet. 



LG. 

   

von

Was hast du versucht? Welcher ist denn der Banachschen Fixpunktsatz? Wie könnte man ihn anwenden?

1 Antwort

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Hi,
für die Nullstellen der Funktion \( f(x) = e^x - 4x^2  \) gilt die Gleichung \(  x^2 = \frac{1}{4}e^x \) und durch Wurzelziehen wird daraus \(  x = \frac{1}{2}e^{\frac{x}{2}} \). D.h. die Nullstellen der Funktion \( f(x) \) sind die Fixpunkte der Gleichung $$ (1) \quad x = g(x) $$ mit \( g(x) = \frac{1}{2}e^{\frac{x}{2}} \)
Für die Existenz und Eindeutigkeit eines Fixpunktes von (1) muss nachgewiesen werden, dass die Funktion \( g(x) \) eine selbstkontrahierende Abbildung ist von \( [0,1] \to [0,1] \) ist.
Das \( g(x) \) in \( [0,1]  \) liegt, sieht man daran, dass einerseits \( g(x) > 0 \) gilt, und andererseits \( g(x) \) eine streng monoton wachsende Funktion ist, d.h. ihr Maximum an der Stelle \( x = 1 \) annimmt. Es gilt \( g(1) = \frac{1}{2}e^\frac{1}{2} = 0.824 < 1 \) also gilt \( g(x) \in [0,1] \) für \( x \in [0,1] \)
Das die Abbildung auch kontrahierend ist, kann man über den Mittelwertsatz der Differentialrechnung beweisen. Es gilt \(  g(x) - g(y) = g'(\xi) \cdot (x - y) \) mit \( \xi \in (0,1) \)
Es gilt \( g'(\xi) = \frac{1}{4}e^{\frac{x}{2}} < \frac{1}{4}e^{\frac{1}{2}} = 0.412 < 1  \)
Damit ist \( g(x) \) kontrahierend. Also konvergiert die Folge \( x_{n+1} = e^{\frac{x_n}{2}} \) für jeden Startwert \( x_0 \in [0,1] \) und ist wie oben erwähnt damit auch eine Nullstelle der Funktion \( f(x) \)

Wenn man die Gleichung (1) nach dem Newtonverfahren lösen möchte, berechnet man die Nullstellen der Funktion \(  h(x) = x - g(x)  \) das ergibt

$$  x_{n+1} = x_n - \frac{h(x_n)}{h'(x_n)} = \frac{ e^{\frac{x_n}{2}}(x_n-2) }{ e^{\frac{x_n}{2}} - 4 } $$

In allen Fällen ist die Lösung 0.715
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