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ich weiß nicht wie ich folgende Extremwertaufgabe lösen soll

Für welche Zahl zwischen 0 und 1 ist der Abstand dieser Zahl und

a) ihrem Quadrat

b) ihrer Wurzel

am größten?

von

2 Antworten

0 Daumen

Die Differenz sei D, die gesuchte Zahl x, dann ist

a) D(x) = x² -x

b) D(x) = x - w(x)

Jetzt die Extremwerte berechnen.

von

woher weiß ich dann, was Haupt, Neben oder Zielfunktion ist?

0 Daumen



Für welche Zahl zwischen 0 und 1 ist der Abstand dieser Zahl und

a) ihrem Quadrat 
am größten?

f(x) = |x2 - x|
Da für 0 ≤ x ≤ 1 gilt x2 ≤ x, können wir schreiben
f(x) = x - x2
f'(x) = 1 - 2x
1 - 2x = 0
x = 0,5
f''(x) = -2 < 0 | also liegt an der Stelle x = 0,5 ein Maximum vor.
"Plausibilitätsüberprüfung":
0,5 - 0,52 = 0,25
0,6 - 0,62 = 0,6 - 0,36 = 0,24
0,4 - 0,42 = 0,4 - 0,16 = 0,24
0 - 0 = 0
1 - 1 = 0

Für welche Zahl zwischen 0 und 1 ist der Abstand dieser Zahl und

b) ihrer Wurzel

am größten?


f(x) = |x - x1/2|

Da für 0 ≤ x ≤ 1 gilt x1/2 ≥ x, können wir schreiben

f(x) = x1/2 - x

f'(x) = 1/2 * x-1/2 - 1

1 = 1/2 * x-1/2 = 1/2 * 1/x1/2 | * 2

2 = 1/x1/2 | ^2

4 = 1/x | * x

4x = 1 | : 4

x = 1/4 = 0,25

f''(x) = -1/4 * x-3/2

f''(1/4) = -1/4 * (1/4)-3/2 = -1/4 * 8 = -2 | also liegt an x = 1/4 ein Maximum vor.

"Plausibilitätsüberprüfung":

1/2 - 1/4 = 0,25

(1/5)1/2 - 1/5 < 0,25

(1/3)1/2 - 1/3 < 0,25

1 - 1 = 0

0 - 0 = 0


Ich hoffe, ich habe mich nicht verrechnet :-D


Besten Gruß

von 32 k

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