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Entscheide, ob folgende Aussagen wahr oder falsch sind und begründe:

(a) Für jede lineare Abbildung f : ℝ3 →  ℝ7 ist die Menge
Bf := {f(x) : x ∈ ℝ3}
ein Unterraum von ℝ7.

(b) Es existiert eine lineare Abbildung f : ℝ3 →  ℝ7 so dass
{f(x) : x ∈ ℝ3} = ℝ7


Weiss jemand wie man diese Aufgabe lösen kann?

von

1 Antwort

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(a) Für jede lineare Abbildung f : ℝ3 →  ℝ7 ist die Menge 
Bf := {f(x) : x ∈ ℝ3
ein Unterraum von ℝ7

Richtig. f(0) = 0.

und aus a und b in R^3 folgt t*a + s*b Element R^3, t,s Parameter aus R.

f(a) und f(b) Element U

Aufgrund der Linearität von f gilt f(t*a + s*b) = t*f(a) + s*f(b) Element U. usw.

(b) Es existiert eine lineare Abbildung f : ℝ3 →  ℝ7 so dass 
{f(x) : x ∈ ℝ3} = ℝ7

falsch. Die Dimension des Bildes einer linearen Funktion kann nicht grösser sein als die Dimension ihres Urbildes.

von 162 k 🚀
Vielen Dank,

b) leuchtet mir sofort ein,
a) muss ich wohl nochmals die Theorie genau nachlesen, dann sollte es gehn :)

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