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Also mein Problem ist der Beweis von der  n-te Ableitung von f(x)=1/x per Induktion.

Also die Behauptung ist, das diese n-te Ableitung davon

f^{n} = ((-1)^n*n!)/x^{n+1} sei.

Wie kommt man darauf?

von

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f(x) = 1/x = x^{-1}

f1(x) = -1x^{-2}

Induktionsanfang: n = 1

f1(x) = (-1)^1·1!/x^{1 + 1} = -1/x^2 = -x^{-2} --> stimmt

Induktionsschritt: n --> n + 1

fn+1(x) = (fn(x))'

(-1)^{n + 1}·(n + 1)!/x^{[n + 1] + 1} = ((-1)^n·n!/x^{n + 1})' = ((-1)^n·n!·x^{-[n + 1]})'

(-1)^{n + 1}·(n + 1)!/x^{n + 2} = (-1)^n·n!·(-[n + 1])·x^{-[n + 1] - 1}

(-1)^{n + 1}·(n + 1)!/x^{n + 2} = (-1)^{n + 1}·(n + 1)!·x^{-n - 2}

(-1)^{n + 1}·(n + 1)!/x^{n + 2} = (-1)^{n + 1}·(n + 1)!/x^{n + 2}

von 384 k 🚀

Danke schonmal für die Antwort.

Mir ist nicht klar wie man von

(-1)^n*n!*(-[n+1])*x^{[n+1]-1} zu

(-1)^{n+1} * (n+1)!*x^{-n-2} kommt.

also besonders der term vor dem x das x^{[n+1]-1} zu x^{-n-2} wird ist klar.

Schau dir Terme mal richtig an

(-1)^{n} * n! * (-[n + 1]) * x^{-[n + 1] - 1}

= (-1)^{n} * n! * (-1) * (n + 1) * x^{-n - 1 - 1}

(-1)^{n} * (-1) * n! * (n + 1) * x^{-n - 2}

(-1)^{n + 1} * (n + 1)! * x^{-[n + 2]}

Wenn du etwas nicht verstehst schreib mal genau was du nicht verstehst. Da sind ja mehrere Umformungen drin.

Super jetzt habe ich es geblickt,

mein Problem war das ich nicht gesehen habe das n!*(n+1) = (n+1)!

Ich habe das ausmultipliert und das sah dann nicht richtig aus, kannst du mal zeigen wie man das durch ausmultiplizieren umformen kann?

Danke.

n! * (n + 1)

Wir schreiben das mal als Kette auf mit n! = 1 * 2 * 3 * ... * n

1 * 2 * 3 * ... * n * (n + 1)

Jetzt sehen wir das wir das auch als

(n + 1)! schreiben können.

Super danke,

das leuchtet ein. Das es immer diese einfachen Algebra Sachen sind an denen man dann scheitert, das ist echt peinlich.


Grosses Lob an deine schnelle professionelle Hilfe.

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