Sei (X,d) ein metrischer Raum. a) Zeige: Sind x,y,z ∈ X, so ist |d(x,z)-|d(y,z)|≤ d(x,y), b) Ist A eine nicht-leere …

Question

Ich bitte darum folgende Aufgabe zu lösen und die schritte zu erklären damit ich es nächstes mal selber kann
∈
5) Sei (X,d) ein metrische Raum

a) Zeigen Sie: Sind x,y,z element von X, so ist |d(x,z)-|d(y,z)|≤ d(x,y)

b) Ist A eine nicht-leere Teilmenge von X und x element von X, so sei
d(x;A) := inf {d(x; a) | a element von A }
Zeigen Sie: Sind x; y element von X, so ist
| d(x,A) - d(y,A) | ≤ d(x; y)

(c) Sei X = R^2 mit der üblichen (zur Euklidischen Norm gehörigen) Metrik d und sei A:=B1(a) mit a :=(1,0). Berechnen Sie d(x,A) für x=(0,0) , x=(3,0) und x=(0,1).

bitte bitte mit Erklärung zu den schritten kommt leider zu selten vor das die fragen mit Erklärungen vorgestellt werden

Comments

Hast du bei a) einen Betragstrich zu viel oder zu wenig? Hier:

|d(x,z)-|d(y,z)|≤ d(x,y)

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Zu viel

|d(x,z)-d(y,z)|≤ d(x,y) meint er
 

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Hat keiner eine Antwort darauf ?

Answer 1

Also bei Teil a) muss man den Betrag auflösen, und in beiden Fällen ist das einfach die Dreiecksungleichung.

und wenn du dann etwas Übung mit der Dreiecksungleichung hast, Denke ich, dass auch die b) machbar wird. Mal dir dazu mal ein Bild!

Teil c) ist ja einfach nur rechnen, mach das auf jeden Fall vor der b), da bekommst du ein Gefühl für diese Metrik.

Comments

nur wie löst man den betrag so einfach auf?

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Man unterscheidet zwei Fälle:

|x|=x falls x≥0

|x|=-x falls x<0

Das heißt die Aussage oben muss halt in beiden Fällen stimmen.