Was ist die Ableitung von fa(x)=((ax+1)/x^2)?

Question

ich habe ein kleines Problem mit dem Ableiten meiner Funktionenschar:

Was ist die Ableitung von fa(x)=((ax+1)/x^2) ?

LG

Answer 1

Die Ableitung ist $$\frac{\text{d} f_a(x)}{\text{d}x} = f'_a(x) = -\frac{a}{x^2}-\frac{2}{x^3}$$.

Denn $$\frac{ax + 1}{x^2} = x^{-2} \cdot (ax+1) = x^{-2} \cdot ax + x^{-2} = a \cdot x^{-1} + x^{-2}$$

Und davon die Ableitung (a ist als Konstante zu betrachten):

$$-ax^{-2} + -2x^{-3}$$

Und \(-ax^{-2} + -2x^{-3} = -\frac{a}{x^2}-\frac{2}{x^3}\).

Comments

danke für deine schnelle Hilfe.

Kannst du mir das dennoch nochmal am Beispiel der Quotientenregel verdeutlichen, damit ich es besser nachvollziehen kann?

LG

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OK, einen Moment bitte :)

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$$f(x) = \frac{ax+1}{x^2}; u(x) := ax+1; v(x) = x^2 \Longrightarrow u'(x) = a; v'(x) = 2x\\ f'_a(x) = \frac{u'(x)v'(x) - u(x)v'(x)}{v^2} = \frac{ax^2 - (ax+1) \cdot 2x}{x^4}\\ \Longleftrightarrow f'_a(x) = \frac{ax^2 - 2ax^2 - 2x}{x^4} \text{ | x gekürzt}\\ \Longleftrightarrow f'_a(x) = \frac{ax - 2ax - 2}{x^3}\\ \Longleftrightarrow f'_a(x) = -\frac{ax + 2}{x^3}\\$$

Und das ist dasselbe wie das Ergebnis von oben, nur auf den selben Hauptnenner gebracht (hier: \(x^3\)) und auf einen Bruchstrich geschrieben.

Answer 2

Du leitest ja immer nach einer Variable ab, also hier dann nach x

also ist f'_a(x)=-(a*x+2)/(x^3)

Comments

Wenn was falsch ist bitte sagen, ich komme nur auf dieses Ergebnis.

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Du hast ja dasselbe wie lukulus. Warum bist du unsicher?

f'_a(x)=-(a*x+2)/(x³)  = -a/x^2 -2/x^3

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Naja ...

Ist ja nur mit x erweitert worden.