Basen von Unterraum bestimmen. U:={ (x1,x2,x3) € R^3 : 3x1 - 2x2 + x3 = 0}

Question

Folgender Unterraum (R3) ist gegeben:

\( U:=\left\{\left(\begin{array}{l}{x_{1}} \\ {x_{2}} \\ {x_{3}}\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{3}: 3 x_{1}-2 x_{2}+x_{3}=0\right\} \)

Mein Vorgehen:

Kern(A)  mit A = (3 -2 1) -> Dim(Kern(A)) = 2

Dann habe ich A in die normierte Zeilenstufenform gebracht, also A = ( 1 -2/3 1/3).

Dann bekomme ich

$$ Kern(A)\quad =\quad \begin{cases} \frac { 2 }{ 3 } { x }_{ 2 }-\frac { 1 }{ 3 } { x }_{ 3 } \\ { x }_{ 2 } \\ { x }_{ 3 } \end{cases} $$

EDIT(Lu): Nicht umgewandelt wird oben: " Kern(A)\quad =\quad \begin {cases} \frac { 2 }{ 3 } { x }_{ 2 }-\frac { 1 }{ 3 } { x }_{ 3 } \\ { x }_{ 2 } \\ { x }_{ 3 } \end {cases} " Leerschläge nach begin und end von mir.

Jetzt x2 = 1 und x3 = 0 für die erste Basis und x2 = 0 und x3 = 1 für die zweite Basis.

Basen wären dann (2/3 1 0) und (-1/3 0 1).

In der Lösung ist jedoch folgende Familie von Vektoren angegeben: ( 1 4 5) und (2 5 4). Wie kommt man denn darauf bzw. was habe ich falsch gemacht??

Answer 1

nix, denn Basen sind nicht eindeutig. Die Basis die du bestimmt hast ist in der Tat eine Basis. Der vorliegende Untervektorraum ist ja nix anderes als eine Ebene im \( \mathbb{R}^3\).

Gruß

Comments

Alles klar danke, dann bin ich beruhigt :)