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Folgender Unterraum (R3) ist gegeben:

\( U:=\left\{\left(\begin{array}{l}{x_{1}} \\ {x_{2}} \\ {x_{3}}\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{3}: 3 x_{1}-2 x_{2}+x_{3}=0\right\} \)

Mein Vorgehen:

Kern(A)  mit A = (3 -2 1) -> Dim(Kern(A)) = 2

Dann habe ich A in die normierte Zeilenstufenform gebracht, also A = ( 1 -2/3 1/3).

Dann bekomme ich

$$ Kern(A)\quad =\quad \begin{cases} \frac { 2 }{ 3 } { x }_{ 2 }-\frac { 1 }{ 3 } { x }_{ 3 } \\ { x }_{ 2 } \\ { x }_{ 3 } \end{cases} $$

EDIT(Lu): Nicht umgewandelt wird oben: " Kern(A)\quad =\quad \begin {cases} \frac { 2 }{ 3 } { x }_{ 2 }-\frac { 1 }{ 3 } { x }_{ 3 } \\ { x }_{ 2 } \\ { x }_{ 3 } \end {cases} " Leerschläge nach begin und end von mir.

Jetzt x2 = 1 und x3 = 0 für die erste Basis und x2 = 0 und x3 = 1 für die zweite Basis.

Basen wären dann (2/3 1 0) und (-1/3 0 1).

In der Lösung ist jedoch folgende Familie von Vektoren angegeben: ( 1 4 5) und (2 5 4). Wie kommt man denn darauf bzw. was habe ich falsch gemacht??

von

1 Antwort

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Beste Antwort

nix, denn Basen sind nicht eindeutig. Die Basis die du bestimmt hast ist in der Tat eine Basis. Der vorliegende Untervektorraum ist ja nix anderes als eine Ebene im \( \mathbb{R}^3\).

Gruß

von 24 k
Alles klar danke, dann bin ich beruhigt :)

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