Folgender Unterraum (R3) ist gegeben:
\( U:=\left\{\left(\begin{array}{l}{x_{1}} \\ {x_{2}} \\ {x_{3}}\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{3}: 3 x_{1}-2 x_{2}+x_{3}=0\right\} \)
Mein Vorgehen:
Kern(A) mit A = (3 -2 1) -> Dim(Kern(A)) = 2
Dann habe ich A in die normierte Zeilenstufenform gebracht, also A = ( 1 -2/3 1/3).
Dann bekomme ich
$$ Kern(A)\quad =\quad \begin{cases} \frac { 2 }{ 3 } { x }_{ 2 }-\frac { 1 }{ 3 } { x }_{ 3 } \\ { x }_{ 2 } \\ { x }_{ 3 } \end{cases} $$
EDIT(Lu): Nicht umgewandelt wird oben: " Kern(A)\quad =\quad \begin {cases} \frac { 2 }{ 3 } { x }_{ 2 }-\frac { 1 }{ 3 } { x }_{ 3 } \\ { x }_{ 2 } \\ { x }_{ 3 } \end {cases} " Leerschläge nach begin und end von mir.
Jetzt x2 = 1 und x3 = 0 für die erste Basis und x2 = 0 und x3 = 1 für die zweite Basis.
Basen wären dann (2/3 1 0) und (-1/3 0 1).
In der Lösung ist jedoch folgende Familie von Vektoren angegeben: ( 1 4 5) und (2 5 4). Wie kommt man denn darauf bzw. was habe ich falsch gemacht??
