nun so wie es aussieht, sollst die Funktion f(x,y) partiell Ableiten. Bei a; ist die erste Ableitung nach x gefragt, bei b die erste Ableitung nach y. Bei c soll die Ableitung nach x nun ein zweites Mal abgeleitet werden, dieses mal jedoch nach y. Bei d entsprechend anders herum.
Man leitet beim partiellen Differenzieren im Grunde genauso ab, wie bei Funktionen mit nur einer Variablen. Bei der Ableitung nach x, behandelst Du dabei alle y als Konstanten. Bei Ableitung nach y werden entsprechend alle x als Konstant behandelt. dazu ein paar Beispiele:
$$ f(x,y)=x^2+y^2 $$
$$ f'(x,y)_x=2x $$
$$ f'(x,y)_y=2y $$
und noch eins:
$$ f(x,y)=x^2+y^2x $$
$$ f'(x,y)_x=2x+y^2 $$
$$ f'(x,y)_y=2yx $$
$$ f''(x,y)_{xx}=2 $$
$$ f''(x,y)_{xy}=2y $$
$$ f''(x,y)_{yx}=2y $$
$$ f''(x,y)_{yy}=2x $$
die Indexbuchstaben geben in der Reihenfolge an, nach welcher Variablen abgeleitet wurde.
$$ f''(x,y)_{xy} $$ bedeutet: die erste Ableitung von f nach x, wird ein zweites mal nach y abgeleitet.
Die Notation der Ableitungen in Deiner Aufgabe orientiert sich an der alternativen Schreibweise für die Ableitung:
$$ \frac{d}{dx} f(x)=\frac{df}{dx}=f'(x) $$
Beim partiellen Ableiten werden zur Unterscheidung statt der kleinen d eben Deltas benutzt
