2.4. Kreiskegel – Oberflächeninhalt gegeben – Volumen maxima

Question

Aufgabe: Bestimmt zu jedem der vier Probleme Hauptbedingung,  Nebenbedingung und Zielfunktion!

2.4. Kreiskegel – Oberflächeninhalt gegeben – Volumen maximal  Bestimmen Sie den Radius r, die Höhe h und das Volumen V desjenigen Kreiszylinders, der bei  gegebenem Oberflächeninhalt O (O = p cm2) maximales Volumen V hat.

Comments

Jetzt suchen wir erstmal mal die entsprechenden Formeln ...

... wo könnte man denn da anfangen ?

Answer 1

2.4. Kreiskegel – Oberflächeninhalt gegeben – Volumen maximal  Bestimmen Sie den Radius r, die Höhe h und das Volumen V desjenigen Kreiszylinders, der bei  gegebenem Oberflächeninhalt O (O = p cm2) maximales Volumen V hat. 

o = pi·r^2 + pi·r·√(r^2 + h^2)
h = √(o^2 - 2·pi·o·r^2)/(pi·r)

V = 1/3·pi·r^2·h = 1/3·pi·r^2·√(o^2 - 2·pi·o·r^2)/(pi·r) = r·√(o^2 - 2·pi·o·r^2)/3

V' = (o - 4·pi·r^2)·√(o^2 - 2·pi·o·r^2)/(3·(o - 2·pi·r^2)) = 0 --> r = √(o/(4·pi))

h = √(o^2 - 2·pi·o·√(o/(4·pi))^2)/(pi·√(o/(4·pi))) = √(2·o/pi)

V = √(o/(4·pi))·√(o^2 - 2·pi·o·√(o/(4·pi))^2)/3 = √(o^3/(72·pi))