Extremwertaufgabe: Einem Kreiskegel ist ein Kreiskegel mit maximalem Volumen einzuschreiben

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hi, ich schreib morgen meine mathe klausur...
habe heute beim üben noch einmal eine probeklausur gemacht und dabei folgende aufgabe gehabt :

Einem geraden Kreiskegel mit dem Grundradius R=3 cm und der Höhe H=5cm ist ein gerader Kreiskegel mit maximalem Volumen einzuschreiben, dessen Spitze im Mittelpunkt der Grundfläche des vorgegebenen Kreiskegels liegt. Fertige eine Skizze an. Bestimme den Radius r und die Höhe h des gesuchten Kreiskegels sowie dessen maximales Volumen V.

hier komme ich einfach nicht weiter... -.-
ich weiß zwar generell wie man extremwertaufgaben löst, aber hier komm ich einfach nicht auf die beiden funktionen...

bitte helft mir !

danke
Gefragt 30 Sep 2012 von Gast hj2288

2 Antworten

+1 Punkt

Einem geraden Kreiskegel mit dem Grundradius R=3 cm und der Höhe H=5cm ist ein gerader Kreiskegel mit maximalem Volumen einzuschreiben , dessen Spitze im Mittelpunkt der Grundfläche des vorgegebenen Kreiskegels liegt. Fertige eine Skizze an. Bestimme den Radius r und die Höhe h des gesuchten Kreiskegels sowie dessen maximales Volumen V.

ich mache als Skizze einen Längsschnitt durch die beiden Kegel. Dabei sind die Zahlen 3 und 5 'echt' der Radius und die Höhe des gegebenen Kegels. Darin auf dem Kopf steht ein kleiner Kegel mit unbekanntem Radius r (grün) und Höhe h (schwarz). Die obere Hälfte der schwarzen Strecke misst deshalb 5-h. 

Nun ist die Steigung der roten Geraden in 2 Steigungsdreiecken ablesbar. Im grossen ist sie 5 / 3. Im kleinen oberhalb der grünen Begrenzung (5-h) / r.

Daraus erhält man die Gleichung 5/ 3 = (5-h)/ r

 

 

Kegel in Kegel

 

5/ 3 = (5-h)/ r

Daraus ergibt sich r = 3(5-h) / 5. Das kann man verwenden, damit das Kegelvolumen nur noch von einer Variablen abhängt.

V(kleiner Kegel) = 1/3  Pi r2 h  

= 1/ 3 Pi ( 3(5-h) / 5)2 h

volumenformel

Vor dem Ableiten und 0 setzen kann man noch die Konstanten Faktoren weglassen.

f(h) = 25h - 10h2+ h3

f'(h) =25- 20h + 3 h2 = 0

h = 1/6 (10 ± √ (400 - 300)) = 1/6 ( 10 ± 10) 

h1 = 20 / 6 = 10 / 3                       h2 = 0                          

Aus Realitätsgründen muss bei h=0 ein Min. sein. Deshalb ist das Max. in h = 10/3

Es folgt

r  = 3(5-   10/3) / 5  = 3(15/3 -   10/3) / 5 = 3 ( 5/3) / 5 = 1

V(klein) = 1/3 Pi *1* 10 /3 = 10 Pi / 9 = 3.4007

 

Anmerkung statt der Steigung, kann auch der Strahlensatz benutzt werden, um die Beziehung von r und h aufzustellen.

 

Beantwortet 30 Sep 2012 von Lu 106 k

 

Ich hatte noch einen Fehler in der Rechnung.

h = 1/6 (20 ± √ (400 - 300)) = 1/6 ( 20 ± 10) 

h1 = 30 / 6 = 5                       h2 = 10/6                          

Aus Realitätsgründen muss bei h=5 ein Min. sein. Deshalb ist das Max. in h = 10/6 = 5/3

Es folgt

r  = 3(5-   5/3) / 5  = 3(15/3 -   5/3) / 5 = 3 ( 10/3) / 5 = 2

V(klein) = 1/3 Pi *4* 5 /3 = 20 Pi / 9 = 6.9813

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Das Volumen berechnet sich mit V = 1/3 * π * r2 * h

Dieses soll maximal werden, also setzen wir die 1. Ableitung nach r = 0

0 = 2/3 * π * h * r

Zwischen r und h gibt es einen Zusammenhang, der Kegel muss in den andern hineinpassen.

Wenn Du einen Querschnitt des 1. Kegels zeichnest, dann dort die y-Achse = Höhe setzt und die x-Achse als Grundlinie, ist die Seite eine Gerade mit der Gleichung g(x) = -5/3*x+ 5

Für den 2. Kegel heisst das, das y=g(x) ist die Höhe h, x entspricht dem Radius. Also ist der Höhe = 5-5/3*r

Oben eingesetzt:

2/3 * π * (5-5/3*r) * r = 0

2/3 * π * 5r - 2/3 * π *5/3*r2 = 0

Beantwortet 30 Sep 2012 von Capricorn 2,2 k
Diese Gleichung führte bei mir zu keinem sinnvollen Ergebnis, aber es hat in der Zwischenzeit eine Lösung (siehe unten) von Lu
Mein Fehler war, dass ich zuerst nach r abgeleitet habe, statt zuerst h einzusetzen. Ich komme jetzt auf ein r von 2. h = 1,66666 (an Lu: bei der Anwendung der quadr. Lösungsformel hast Du für b 10 statt 20 eingesetzt.)

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