OXY im Quadrat,Welchen Flächeninhalt hat das Dreieck OXY?

Question

Wie in der Abbildung angedeutet liegen 2015 Quadrate mit Seitenlänge 1 lückenlos nebeneinander. Der Punkt O ist der linke untere Eckpunkt des 1.Quadrats, die Punkte P und Q sind entsprechend die rechten oberen Eckpunkte des vorletzten und letzten Quadrats. Die Punkte O und Q bzw. O und P werden durch je eine Strecke verbunden. Diese schneiden die rechte Seite des 1. Quadrats in den Punkten X und Y. Welchen Flächeninhalt besitzt das Dreieck OXY?

Comments

Mathe-Olympiade?
Tipp: Strahlensatz.

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Ja, das war die Matheolympiade, die allerdings schon vorbei ist, trotzdem hätte mich die Lösung Interessiert, da ich mit dem Strahlensatz nur auf ein paar sinnlose Buchstabenbrüche komme. Kann man den Strahlensatz auch irgendwie umgehen, da ich mich nur selbstständig mit der Theorie beschäftigt habe, allerdings immer noch nicht schlau daraus geworden bin.

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"Ja, das war die Matheolympiade, die allerdings schon vorbei ist, "

Das ist gelogen!
Das ist eine aktuelle Aufgabe - der Abgabetermin ist der 21.4.2015!

Siehe hier:
http://willibald-gymnasium.de/uploaded/EIMO%202.%20Runde%202015.pdf

Answer 1

Mit A bezeichnen wir den linken unteren Eckpunkt des zweiten Quadrats von links, mit B den linken unteren Eckpunkt des ganz rechten Quadrats. Aufgrund des Stufenwinkelsatzes folgt, dass die Dreiecke OAY und OBP in allen drei Innenwinkeln paarweise übereinstimmen, also ähnlich sind. Aus dieser Ähnlichkeit folgt (Mit AY sei dabei nicht die Gerade AY, sondern die Verbindungsstrecke zwischen A und Y gemeint, da ich nicht weiß, wie man das in den Formeleditor eingibt)
AY=1/2014*BP=1/2014*1=1/2014
Analog erkennt man
AX=1/2015
Sodass abschließend folgt
F(OXY)=F(OAY)-F(OAX)=1/2*1*1/2014-1/2*1*1/2015=1/(2*2014*2015),
was dem Leser überlassen sei auszurechnen.

Answer 2

Dreieck O,Q, und nach unten
1 / 2015 = x / 1
Dreieck O,P, und nach unten
1 / 2014 = y / 1

Dreiecke im 1 Quadrat
y * 1 / 2 - x * 1 / 2
1 / ( 2014 * 2 ) - 1 / ( 2015 * 2 ) = 0.000000123