Beweis eines Endomorphismus

Question

Seien f: V→ V ein K-linearer Endomorphismus mit dim V < ∞ und W ⊆ V ein f-invarianter K-linarer Unterraum. Beweisen Sie folgende Aussagen.

a) Es gibt genau einen K-linearen Endomorphismus f': V'→ V' mit V' := V/W, für welchen das folgende Diagramm kommutativ ist.

$$ \begin{array} { c } { v \stackrel { f } { \longrightarrow } v } \\ { \rho \downarrow \quad \downarrow \rho } \\ { V ^ { \prime } { \xrightarrow[f`]{} } \; v ^ { \prime } } \end{array} $$

Dabei beizeichne ρ die natürliche Abbildung auf den Faktorraum.

b) Bezüglich einer geeignet gewählten Basis hat die Matrix von f die Gestalt

\( \left( \begin{array} { l l } { A } & { B } \\ { 0 } & { C } \end{array} \right) \) mit A ∈ K^axa, C∈ K^cxc, B∈ K^axc, a:= dim W, c:= dim V - dim W.

c) Zeigen Sie χ_f (T) = χ_f/W (T) * χ_f' (T).

Answer 1

Die Aussage in a) ist ganz einfach der Homomorphiesatz.

Ist \( \rho \circ f \) surjektiv, und ist W im Kern von \( \rho \circ f \) enthalten, so existiert das gewünschte \( f` \). Und das nachzuprüfen ist nicht sehr schwer.

Versuche dann mal damit zu verstehen, wie man die Basis in b) wählen kann.

Die c) ist dann wiederum eine Folgerung aus b).

Comments

Hi, danke für deine Hilfe.

ich bin bei a) jetzt soweit dass ich gezeigt habe, dass f' wohldefiniert und linear ist.

ich weiß aber nicht, wie ich zeigen soll, dass es "genau einen Endomorphismus" gibt?

und mit b) und c) komm ich leider gar nicht klar...

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das genau einen ist tatsächlich schon eine Aussage des Homomorphiesatzes, kennst du den? Habe jetzt leider keine Zeit, werde vielleicht heute Abend nochmal oder sonst morgen was schreiben.

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Eigentlich schon...
Also kann ich sagen, dass es nur einen gibt, weil der homomorphiesatz gilt bzw. Weil ich bewiesen hab dass f' überhaupt existiert, oder?

ok, das wär echt nett, wenn du nochmal was schreibst! :)

danke!!!

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Der Satz wie ich ihn kenne und er zum Beispiel in Bosch: Lineare Algebra steht sagt:

Du wendest den Satz jetzt so an, wie ich das schon oben beschrieben habe.

Das Vquer und das V' aus dem Satz, sind bei dir beides V'. Was in dem Satz π ist, heißt bei dir ρ.

Die Abbildung f ist bei dir ρ°f . Du musst jetzt nur zeigen, dass U⊂ker(f) also in deinem Fall, W⊂ker(ρ°f). Der Satz sagt dann, dass das Diagramm kommutiert, d. h. dass f = fquer ◦ π und in deinem Fall dann eben, dass ρ°f = f ' °ρ, was genau die Aussage ist die du zeigen sollst.

 

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Ok, danke :)

kannst du mir noch was zu b) und c) sagen bitte?

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zu b)

Ok, hier ist die Wahl der Basis entscheidend.

W⊂V also können wir für die ersten a Basisvektoren von V eine Basis von W wählen. Diese ergänzen wir jetzt so zu einer Basis von V, dass die Bilder der übrigen Basisvektoren wenn man ρ auf sie anwendet gerade eine Basis von V/W ergeben.

Betrachtet man jetzt V mit dieser Basis, und wendet f auf die Basisvektoren an, so werden die ersten a Basisvektoren wieder nach W abgebildet, da ja f(W)⊂W.

Es stehen in den Spalten der Abbildungsmatrix die Koordinaten der Bilder der Basisvektoren des abgebildeten Vektorraums bezüglich der Basis des Zielraums, welches ja hier die selbe ist, das heißt die ersten a Spalten haben nur einträge in den ersten a Zeilen, da diese Gerade für die ersten a Basisvektoren im Zielraum stehen.

Der Rest der Aussage ist jetzt einfach, dass eine Abbildungsmatrix von V nach V gerade dimV Zeilen und Spalten hat... da ja von B und C nichts weiter verlangt wird, als dass sie aus Einträgen in K bestehen.

Und jetzt denk doch über c) erst nochmal selbst kurz nach, nachdem du weißt wie die Matrix von f aufgebaut ist. Also Tipp vielleicht noch, die Determinante eine Matrix wie die ABC_amtrix oben ist gerade det(A)*det(C)