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Aufgabe:

Sei \( (V,\langle\cdot, \cdot\rangle) \) ein endlichdimensionaler unitärer Raum, \( f \in \operatorname{End}(V) \). Beweisen Sie, dass \( f \) genau dann normal ist, wenn für alle \( v \in V \) gilt:

\( \|f(v)\|=\left\|f^{*}(v)\right\| \)

Problem/Ansatz:

Leider weiß ich nicht, wie ich an diesen Beweis ranzugehen habe. Könnte mir jemand mit einem Ansatz helfen?

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Wie habt Ihr "normal" definiert? Habt Ihr schon eine weitere zur Definition äquivalente Eigenschaft bewiesen?

Hi, bin erstmal froh dass jemand überhaupt antwortet, danke :D

also definiert haben wir den als (f,f*)=(f*,f), wenn ich mit den Klammern jtz. ein Skalarprodukt definiere. Selbstadjungierte Matrizen stellen dann per Definition auch einen normalen Endomorphismus dar, soweit ich mich an die Definition in meinem Skript erinnere. Die Frage für mich ist, wie kann ich obige Fragestellung mit diesem Wissen beweisen, falls es jtz. überhaupt korrekt war was ich geschrieben habe.

also definiert haben wir den als (f,f*)=(f*,f), wenn ich mit den Klammern jtz. ein Skalarprodukt definiere.

Das verstehe ich nicht: Wie soll zwischen 2 linearen Abbildungen ein Skalarprodukt definiert sein?

Hmm, dann verwechsel ich wohl etwas. Ich schlag das nochmal nach. Wie wäre es ihrer Ansicht nach definiert ?

Aber bei f(v) und f*(v) anstelle von einfach nur f und f* würde die Definition wahrscheinlich schon greifen oder? Denn dann wäre f(v) ja ein Vektor wenn ich mich nicht irre.

Das wäre aber nicht die Definition.

Die Definition lautet laut Skript

f ist normal wenn: f•f*=f*•f. Wäre ein möglicher Ansatz, einen zweiten Vektor u einzuführen und zu zeigen, dass (f(u),f(v))=(f*(u),f*(v)) ? Die Aussage soll ja äquivalent zu der Aussage in der Aufgabe sein.

Dir ist klar, was der "Punkt" in der Definition von Normalität bedeutet?

Jedenfalls ist in der Tat

$$\forall u,v \in V: \quad \langle f(u),f(v) \rangle =\langle f^*(u),f(^*(v)\rangle$$

Eine äquivalente und hier hilfreiche Charakterisierung von Normalität. Habt Ihr das besprochen oder muss das erst gezeigt werden?

Der Punkt steht für Verkettung, richtig ?. Wobei ich Probleme habe mir das vorzustellen.

Richtig, gemeint ist die Verkettung, also

$$\forall u \in V: \quad f^*(f(u))=f(f^*(u))$$

Vorstellen kann ich mir da nichts.

Wie steht es jetzt mit der angegebenen Gleichung? Bekannt?

(Sehe gerade, dass im letzten Kommentar eine Klammer zuviel ist.)

Übrigens, damit es gleich weitergeht: Wie kann man die Gleichung

$$\|f(v)\|^2=\|f^*(v)\|^2$$

Mit Hilfe es Skalarprodukts ausdrücken?

Als Skalarprodukt wäre das jetzt (f(v),f(v))=(f*(v),f*(v)). Da || f(v) || ja square((f(v),f(v)) wäre oder ?

D.h. die Behauptung aus der Aufgabe ist ein Spezialfall der allgemeinen Bedingung für Normalität, Spezialfall, weii beide Argumente gleich sind - nur v statt u und v

Also fehlt jetzt noch die Rückrichtung.

Ich denke ich hab es

danke für die Hinführung. Es scheint wohl eine nicht so schwere Frage gewesen zu sein, allerdings musste man da die Materie kennen um sie zu beantworten.

Ich schreibe nochmal alles zusammen

1 Antwort

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Beste Antwort

Ich fasse mal zusammen, was wir besprochen haben , und zwar für einen reellen Raum mit Skalarprodukt, und schließe den Beweis dann ab:

f ist normal genau dann, wenn \(f \circ f^*=f^* \circ f\). Die ist äquivalent zu

$$\forall u,v \in V: \quad \langle f(u),f(v)\rangle= \langle f^*(u),f^*(v)\rangle\qquad (1)$$

Denn aufgrund der Eigenschaften der adjungierten Abbildung gilt

$$\forall u,v \in V: \quad \langle f(u),f(v)\rangle= \langle u,f^* \circ f(v)\rangle \text{  und }  \langle u,f \circ f^*(v)\rangle= \langle  f^*(u),f^*(v)\rangle$$
Denn wenn f normal ist, dann sind die beiden inneren Terme gleich, also auch die äußeren. Wenn die beiden äußeren gleich sind, dann auch die inneren; da u und v beliebig sind, folgt \(f \circ f^*=f^* \circ f\).

Nun zur Aufgabe: Wenn f normal ist, dann folgt (1), insbesondere natürlich für u=v, das wäre die Behauptung für die Normen.

Wenn umgekehrt die Behauptung für die Normen gilt folgt für beliebige \(u,v \in V\):

$$\|f(u+v)\|^2=\langle f(u)+f(v), f(u)+f(v) \rangle\\\quad =\|f(u)\|^2+\langle f(u), f(v) \rangle+\langle f(v), f(u) \rangle+\|f(v)\|^2$$

Dies ist gleich \(\|f^*(u+v)\|^2\), dies entwickelt man analog, die Norm-Terme fallen weg und die Gleichung (1) bleibt übrig.

Avatar von 13 k

Großes Dankeschön

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