Bestimmen Sie den Rand einer Menge M ⊂ X in einem Raum X mit der sogenannten diskreten Metrik.

Question

Sei \( (X, d) \) ein metrischer Raum. Zeigen Sie, dass der Rand \( \partial M \) einer beliebigen Menge \( M \subset X \) abgeschlossen ist.

Bestimmen Sie den Rand einer Menge \( M \subset X \) in einem Raum \( X \) mit der sogenannten diskreten Metrik
\( d(x, y)=\left\{\begin{array}{ll} 0 & \text { für } x=y \\ 1 & \text { für } x \neq y \end{array}\right. \)

Answer 1

zeige, dass \( (\partial M)^c\) offen ist.

Hinweis:  Die Vereinigung 2er offener Mengen ist offen.

Zudem: $$ X = M \cup M^c $$

Gruß