Allgemeine Lösung einer Differentialgleichung finden: cos(x)*y(x) + sin(x)*y'(x) = e^x

Question

Folgende Differentialgleichung ist gegeben und man muss die allgemeine Lösung finden:

\( \cos (x) \cdot y(x)+\sin (x) \cdot y^{\prime}(x)=e^{x} \operatorname{mit} x \in(0, \pi) \)

Comments

Sehr schnell kommt man zum Ziel, wenn man erkennt, dass \(\cos(x)\cdot y(x)+\sin(x)\cdot y'(x)=\frac{d}{dx}(\sin(x)\cdot y(x))\).

Da braucht's keine Variation der Konstanten oder ähnliche Lösungsverfahren.

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Es ist wie so oft eine Geschmacksache. Die Aufgabe kann natürlich auch als exakte DGL gelöst werden oder anders. Man kommt auch so sehr schnell ans Ziel. Jeder hat eben seine Methode.

Entscheidend ist, was in der Aufgabe steht, womit das gelöst werden soll, sonst ist es sicher egal.

Answer 1

Zunächst mal die homogene Lösung finden (sieht man ja eigentlich schon fast ohne hinzugucken) und dann VdK.

für die patikuläre.

Ist ganz einfach

Answer 2

Hallo

Diese Aufgabe berechnest Du durch Variation der Konstanten . So geht das: