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Ich soll die allgemeinen Lösungen folgender Differentialgleichungen finden. Wie mache ich das?


  (i) \( y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+4 y=0 \)
(ii) \( y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}-4 y=t^{2} \)

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Benutze bei (i) den Ansatz \( y(t) = e^{\lambda t} \). Diesen Ansatz setzt du dann in die DGL ein und kannst so \( \lambda \) berechnen.

Bei (ii) löst du zunächst das homogene Problem \( y'' +2y' - 4y = 0 \) mit dem selben Ansatz wie bei (i).

Eine partikuläre Lösung erhältst du mit dem Ansatz \( y_p(t) = c_0 + c_1 t + c_2 t^2 \), wobei \(c_0, c_1, c_2 \in \mathbb{R} \) durch Koeffizientenvergleich bestimmt werden.

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Oke ich werde es versuchen, danke :)

Nach dem Koeffizientenvergleich bei der partikulären Lösung komme ich auf c0 = c1 = c2 = -1/4

Kann das sein?

Ob das möglich ist, kannst du doch durch Einsetzen rauskriegen :)

Der Vollständigkeit halber hier die Lösungen:

(i) MIt dem obigen Ansatz erhält man \(\lambda_{1,2} = -1 \pm i\sqrt{3} \). Damit sind \(y_1(t) = e^{(-1 + i\sqrt{3})t} \) und \(y_2(t) = e^{(-1 - i\sqrt{3})t} \) zwei linear unabhängige Lösungen und bilden ein komplexes Fundamentalsystem (ein reelles ist \(Re(y_1), Im(y_1) \) ).
Es folgt daher für den Lösungsraum \( \mathcal{L} = \{c_1 y_1 + c_2y_2 : c_{1,2} \in \mathbb{C}\} \).

(ii) Für die homogene Gleichung erhält man mit dem oben stehenden Ansatz \( \lambda_{1,2} = -1 \pm \sqrt{5} \) und damit sind \(y_1(t) = e^{(-1 + \sqrt{5})t} \) und \(y_2(t) = e^{(-1 - \sqrt{5})t} \) zwei unabhängige Lösungen. Der Lösungsraum der homogenen Gleichung ist somit \( \mathcal{L}_h = \{c_1 y_1 + c_2 y_2 : c_{1,2} \in \mathbb{R}\} \).
Eine partikuläre Lösung ist \( y_p(t) = -\frac{1}{4} (t^2 + t + 1) \) und damit ist der Raum aller Lösungen der inhomogenen Gleichung gegeben durch \( \mathcal{L} = y_p + \mathcal{L}_h \).

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