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ich habe hier eine Aufgabe, die ich leider selbst nicht lösen kann.

Sie lautet:

Gegeben ist Menge L:= (k*π/ 2) k ∈ ℤ  und die folgenden Abbildungen:

f:→ ℝ \ L →ℝ: x↦ x/sin(2x) und g: → ℝ \ L →ℝ: x↦sin(2x)/[Betrag(sin2x)]*cos(x)

1. Untersuchen Sie die Funktionen auf Stetigkeit.

2. Untersuchen Sie für f und g an allen Stellen x_0 ∈ L die rechtsseitigen und linksseitigen Grenzwerte.

3. An welchen Stellen lassen sich f und g linksseitig stetig fortsetzen, an welchen Stellen rechtsseitig. An welchen Stellen kann man sie stetig ergänzen.

 

Ich entschuldige mich für die Schreibweise, weil ich nicht recht weiß wie man das denn darstellen soll, weil ich relativ neu in diesem Forum bin,  aber ich habs dann halt  mit Worten dazugeschrieben.
von

Du solltest hier als Erstes mal mit einem Funktionsplotter die Funktionen aufzeichnen, damit du weisst, was dich an Unstetigkeitsstellen (Sprungstellen, Definitionslücken…) erwartet.

Hier zB. f. Definitionslücken/Unstetigkeitsstellen hier nur, wenn sin(2x) = 0.

Bei g ist nun nicht ganz klar, ob cos(x) unter oder neben dem Bruchstrich steht.

cos(x) steht neben dem Bruch , aber da die Menge L ausgeschlossen wird heißt das dass die funktion stetig ist, richtig?

Das mit dem Betrag iritiert mich? Wie soll ma da vorgehen ?

 

Kann man da dann die Stetigkeit durch rechtsseitigen und linksseitigen Grenzwert zeigen oder muss ich das mit epsilon-delta?
Rechts und linksseitiger Grenzwert reicht aus.

1 Antwort

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Beste Antwort

f(x)

a)
Da Zähler und Nenner je stetig sind, ist es auch der Bruch selbst auf dem Definitionsbereich.

 

b)

Für x=0:

l. Grenzwert -> 1/2

r. Grenzwert -> 1/2

 

Für x=π/2:

l. Grenzwert -> ∞

r. Grenzwert -> -∞

 

Für x=3π/2

l. Grenzwert -> -∞

r. Grenzwert -> ∞

 

Für alle weiteren Vielfachen gelten die letzten beiden Grenzwertbetrachtungen.

 

c)

Für kπ/2 für k∈Z\{0} lässt sich f gar nicht stetig fortsetzen, da der Grenzwert nicht reell ist.

Für k=0 und damit x=0 lässt sich f beidseitig stetig fortsetzen. Man kann also stetig ergänzen.

 

 

Grüße

von 139 k 🚀

g(x)

a) Gleiches Argument wie oben

b) Es liegt eine 2π-Periode vor, sowie g(x+π)=-g(x).

Es brauchen nur die Stellen 0 und π/2 untersucht werden und sind repräsentativ für den Rest.

 

Für x=0

l. Grenzwert -> -1

r. Grenzwert -> 1

 

Für x=π/2:

l. Grenzwert -> 0

r. Grenzwert -> 0

 

c)

x=0

Grenzwerte sind reell, aber unterschiedlich. Lassen sich also links, bzw. rechtsseitig stetig fortsetzen, sind aber nicht stetig ergänzbar

 

x=π/2

Beide Grenzwerte sind reell und gleich. Also stetig ergänzbar.

 

 

Grüße

Noch ein Bildchen dazu:

 

Die obige Aussagen lassen sich also bestätigen.

Gerne ;)       .

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