Tangententrapezverfahren/Sehnentrapezverfahren - Trapezfläche

Question

 Folgendes Problem wir haben kein Buch zu diese Thema nur alles an der Tafel gemacht. Ich bin relativ verwirrt

 Da ich tausende Formeln habe und nicht weiß, wo ich was zuordnen muss, haben mich die Formeln im Internet nur noch mehr verwirrt.

Also

Trapezfläche : a+c/2 x h

bzw. m x h ( m ist doch das selbe wie a+c/2 ? )

Formel eins in einem Intervall von a bis b die Fläche berechnen : b-a/n * (f(x0) / 2 + f(x1)+f(x2).... +f(xn-1) + f(n)/2)

ist dass die Sehnentrapezformel? und die Berechnung z.B für x1 usw ist doch

x1= x0 + 1 * b-a/n

x2= x0+ 2*b-a/n

?

Ich hatte die Aufgabe f(x)= e^x/x^3 (^ = steht für hoch) Intervall 1 bis 2

xo=a=1

x1=1,2

x2=1,4

x3=1,6

x4=1,8

x5=2

dann habe ich x1bis x4 addiert = 5,6 dann x0 und x5 durch 2 geteilt und das ergebnis mal 5,6 = 1,4933 richtig?

Tangententrapezverfahren: GROßES PROBLEM

Also ich glaube diese Formel leitet sich aus den Formeln für die Flächenberechnungen ab

wir haben hier jedoch einmal

also formel: ∑ f(xi) x h

hier nimmt man also immer die Mitte also zb statt x1= 1,2 hätten wir x1=1,1 und wir würden auch nur bis x4 gehen dann die mitte von x5 zwischen x5 und x6 liegt und dass außerhalb des Intervalls ist

ich hatte hier die funktion: 1/x^3 und den Intervall 1 bis 2

f(x0)=0,751

f(x1)=0,455

f(x2)=0,296

f(x3)=0,203

f(x4)=0,145

wennn ich die nun alle addiere und mal die höhe nehme wie oben in der Formel also * 0,2 (ist die höhe) = 0,358

in der Schule hatten wir aber 0,37 denkt ihr dass ist einfach wegen der Rundung oder habe ich was falsch gemacht=?

Zudem haben wir hier noch folgende formel

intervall a bis b fläche berechnen einer funktion= 2 (b-a)/n (f(x1)+f(x2)... +f(xn-1)

OKAY WAS IST DAS JETZT WIEDER FÜR EINE FORMEL O.o wozu gehört die?

warum denn 2 (b-a)/n ?

Ich bin totall verwirrt :(

hinzu kommt dass auf einem Blatt das wir bekommen haben nun auch noch diese formel zur trapezverfahren steht

= 0,5* b-a/n (y0+2yi+2y2+....2yn-1+yn)

yi=F(xi)= f(a+i * b-a/n)  was wird hier schon wieder gemacht was ist denn nun die "eigentlich" formel?

WENN MIR EINER BITTE BITTE HELFEN KÖNNTE !! :'( ich wäre jedem dankbar !

Answer 1

Dein Buchstabensalat beginnt hier bei den festen Bezeichnungen a,b,c,d am Trapez.

Trapezfläche = Mittellinie * Höhe.

Die Integrationsgrenzen werden normalerweise mit a und b bezeichnet, deshalb sind diese Buchstaben belegt.

Versuch mal die Bezeichnungen anhand der folgenden Skizze zu verstehen. Das sollte bei deinen Formeln etwas Ordnung bringen.

Noch zur Darstellung: Du musst, wenn du Bruchstriche mit / schreibst, Zähler und Nenner separat einklammern, sonst stimmen die Formeln gar nicht. Bsp. (b-a)/n

Comments

 

intervall a bis b fläche berechnen einer funktion= 2 (b-a)/n (f(x1)+f(x2)... +f(xn-1)

OKAY WAS IST DAS JETZT WIEDER FÜR NE FORMEL O.o wozu gehört die?

warum denn 2 (b-a)/n ?

Addiere mal die Flächenstücke der obigen Skizze:

(f(x1)+f(x2))/2 * (b-a)/n  + (f(x2)+f(x3))/2 * (b-a)/n + … + (f(xn)+f(xn+1))/2 * (b-a)/n

     |ausklammern

= ((f(x1)+f(x2))/2  + (f(x2)+f(x3))/2 * + … + (f(xn)+f(xn+1))/2 ))* (b-a)/n

= ((f(x1)/2+f(x2)/2  + (f(x2)/2+f(x3)/2 * + … + (f(xn)/2+f(xn+1)/2 ))* (b-a)/n

 |hier stehen zwischendrinn immer 2 gleiche halbe Summanden, die man zusammenfassen kann 

= ((f(x1)/2+f(x2)+f(x3) * + … + f(xn)+f(xn+1)/2 ))* (b-a)/n

Es sieht so aus, wie wenn ihr die Punkte auf der x-Achse von 0 bis n und nicht wie ich von 1 bis n+1 nummeriert hättet. Und die 2 ist dort höchstens in einem Zwischenschritt sinnvoll. Ansonsten hatten wir unter dem Bruchstrich die 2 ja fast überall und darum weggekürzt.

Fazit: Diese Formeln kannst du nur zusammen mit einer genau beschrifteten Skizze erklären und musst sie jeweils den Bezeichnungen in der Skizze anpassen.