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  1. Wir wissen, dass die Funktion f : R R, x exp(x), stetig ist. Geben Sie eine kompakte Menge A in R an, so dass ihr Urbild f1(A) nicht kompakt ist. 

  2. (b)  Sei g : R R eine stetige und bijektive Abbildung. Beweisen Sie: 

     (i) g ist streng monoton.
    (ii) Für jede kompakte Menge
    A in R ist ihr Urbild g1(A) kompakt. 

von

Ana 2 Vorlesung HHU xD

Jep, hast du eine Idee dazu?

Bitte benutzt die Suche und versucht die hochgestellten -1 richtig einzugeben.

Der Editor zerstört da die Formatierung aus irgendeinem Grund. Test:

Urbild f ^ (-1) ( A)

Nun Leerschlag nach ^ wegnehmen und Klammern stehen lassen:

Urbild f ^{-1} ( A)

1. Könnte man  A= [0,1] nehmen?

1 Antwort

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; mein Ehrgeiz ist geweckt. Zu 1) ; das soll ein Gegenbeispiel im Vergleich zu 2) sein. Es kommt demnach darauf an, ein kompaktes Intervall anzugeben, welches nicht Bild der e-Funktion ist; da wäre etwa [ 0 ; 1 ] , da es kein x € |R gibt mit exp ( x ) = 0 Es ist auch ein Gegenbeispiel, denn


     F ^ -1  [ 0 ; 1 ]  = { x | x < = 0 }    ( 1 )


     Zu 2 i )  Widerspruchsbeweis; sei demnach


                x1 < x2 < x3    ( 2a )


           f ( x1 )  < f ( x2 )  > f ( x3 )     ( 2b )


          Falls f ( x1 ) = f ( x3 )  , ist ohnehin die Treue ( " Injektivität " ) verletzt (Ihr seht, auch ich kann Deutsch sprechen. )    Falls nicht, nehmen wir oBdA an


            f ( x1 ) < f ( x3 ) < f ( x2 )   ( 2c )


        Nun existiert aber nach dem Zwischenwertsatz x4


               x1 <  x4 < x2 < x3    ( 2d )

f ( x4 ) = f ( x3 )    ( 2e ) ; abermals Widerspruch


Ich muss dir jetzt eröffnen, dass ich leidenschaftlicher Anhänger von ===> Edward Nelsons ===> NSA;IST bin. Diese Abkürzungen stehen für N(on) S(tandard) A(nalysis) so wie Nelsons drei Axiome

I(dealisierung) , S(tandardisierung) , T(ransfer) ( Für Axiomatik bleibt mir hier keine Zeit. )

Ein ausgezeichnetes, teilweise auch recht witziges Lehrbuch: Alain Robert bei Wiley.

Benachrichtige mich ruhig, wenn du näherer erläuterungen bedarfst.

Auf einmalhatte ich heut Nachmittag das Gefühl, es wird alles ganz einfach.

Ich finde, was Nelson uns sagen will, kommt hauptsächlich deshalb so schlecht rüber, weil er eine ganz einfache Konvention ausschlägt: Wann immer wir NSA treiben, stehen Großbuchstaben ausschließlich für Standardobjekte - Nelsons Stil ist " case sensitive " ; das unterscheidet ihn von der Analysis, wie du sie bisher kennst. Also Mengen können plötzlich klein geschrieben werden bzw. Zahlen groß.

Aber wirklich nur das Allernötigste, was wir heute brauchen:


Definition 1   ( begrenzte Zahlen )


Eine reelle Zahl x heißt begrenzt ( englisch: " limited " ) falls


(E)  M > 0   | x | < M      ( 3a )


Halt Stop; gleich am Anfang wollen wir Missverständnisse ausräumen ( Auch du wirst diese Sprache stammeln wie ein kleines Kind; dem beuge ich hier vor. ) Es ist nicht die Rede von einer beschränkten Zahl ( englisch: " bounded " )  Dass eine einzelne Zahl beschränkt ist, ist ja trivial; dass sie begrenzt ist, keines Wegs. Die Bedingung " beschränkt " im Vergleich zu ( 3a )


(E)  m > 0   | x | < m      ( 3b )


Siehst du den Unterschied zwischen " klein m " und " groß M " ? Die Methode müsste ich mir direkt patentieren lassen ...
     Im Folgenden werden uns auf die eine oder andere Weise auch immer wieder inf(initesimale) Größen begegnen; diese werden durch griechische Buchstaben hervor gehoben. Warum sind begrenzte Zahlen so unerhört wichtig?


      Satz 1 ( Schattensatz )

     Sei x € |R begrenzt; dann existiert eine eindeutige Zerlegung


       x = x* + €     ( 4a )
  
       x* =: X0 = Schatten ( x )   ( 4b )


     Wir haben praktisch eine Zerlegung in die ( wichtige ) Standardkomponente und den ( vernachlässigbaren ) inf Rest.  Und das Gelernte kannst du gleich anwenden auf kompakte Mengen:


     Satz 2

    Eine Menge K ist kompakt genau dann, wenn folgende beide Bedingungen erfüllt sind:


     1)  K ist begrenzt  ; | K | < M     ( 5a )
 
     2)   x € K ===> x* € K   ( 5b )


     Jetzt müssen wir noch etwas lernen über stetige Funktionen.


     Definition 2  ( inf Stetigkeit )


    Eine Funktion y = f ( x ) heißt inf stetig, falls

 
       f ( x0 + € ) = y0 + µ     ( 6a )



      Satz 3



     Eine Funktion y = F ( x ) ist stetig in X0  <====> Sie ist dort inf stetig .


    Dann folgt aber aus dem Schattensatz die Schreibweise


     [  F ( x ) ] *  = F ( x* )    ( 6b )



    Eine inf Änderung in x hat eine höchstens inf Änderung in y zur Folge.

    So: und jetzt fangmer endlich an.

    Gefordert K kompakt; zu zeigen: L := F ^  -1 ( K )   kompakt. Satz 2 Gleichung ( 5a ) ; wir müssen uns davon überzeugen: L ist begrenzt. Widerspruchsbeweis. Und zwar gäbe es da zwei Möglichkeiten; erstens. Es gibt ein unbegrenzt ( großes ) x1  mit


      F ( x1 ) = Y1    ( 7a )


     Achte bitte wieder auf die Groß-Kleinschreibung. Hier das war ein " ganz kalte " , wie sich mein Intimus " Volker " immer vernehmen ließ. Die Theorie kennt nämlich das Lemma


    Y0 := F ( X0 ) = Standard    ( 7b )


     Und aus ( 7b ) folgt auch für die Umkehrfunktion


     X1 = F ^ -1 ( Y1 ) = Standard   ( 7c )


     Na dann versuchen wirs doch mal alternativ mit der Kleinschreibung.


     F ( x1 ) = y1   ( 7d )


     Gegen ( 7d ) hätte die Theorie so weit auch gar nichts einzuwenden. Wir müssen nur wieder beherzigen, da y1 in K liegt, gilt einerseits Satz 2


        y1 € K ===> y1* =: Y0 € K    ( 8a )

        y1 = Y0 - € ; € > 0    ( 8b )


   (  Die Annahme, € sei positiv, ist willkürlich. )


     und andererseits existiert ja

   
     (E) X0 € L | Y0 = F ( X0 )   ( 8c )


     Stellen wir uns dochmal was Konkretes vor, damit dir klar wird, was hier abgeht. Sagen wir oBdA x1 sei negativ. Den unbegrenzten Betrag drücke ich jetzt mit dem selben Zeichen aus wie die Physiker:


       x1 <<  X0    ( 9a )


     Hier wird ein unbegrenztes Intervall auf ein inf Intervall abgebildet:


    j1 :=  [ x1 ; X0  ]    ( 9b )

    j2 := [ y1 ; Y0 ]   ( 9c )

    F ( j1 ) = j2   ( 9d )


    Vielleicht hilft dir das ja, dir eine konkrete Anschauung von dem ganzen Spielchen zu machen. Das Problem ist genau: wir haben gezeigt, F ist monoton. Für x < X0 ist y < Y0 und gleichzeitig y = Y0 - inf = Nonstandard. Nun enthält j1 sicher " noch beliebig viele " Standardpunkte; z.B. X4711 := X0 - 4 711 ist ja immer noch Standard. D.h. wegen ( 7b ) müsste F ( X4711 ) = Standard bzw. F ( X4711 ) = Y0 ; Widerspruch.
    Der Rest ist ein Kinderspiel. Zu zeigen


        x € L ===> x* € L    ( 10a )


     Nun ist aber


      y = F ( x ) € K ; K kompakt ===> y* = [ F ( x ) ] * = F ( x* )  € K

  

 ( Hier   wurde ausgenutzt: F ist stetig. ) Da L definiert war als K ^ -1 , muss x* € L . Fragen; Einwände?
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