Es gibt eine reelle Zahl, sodass für jede Teilmenge ein i mit existiert?

Question

Sei (X,d) ein kompakter metrischer Raum und {U_i}_i∈I eine offene Überdeckung von X. 

Zeigen Sie: Es gibt eine reelle Zahl δ > 0, sodass für jede Teilmenge Y ⊂ X mit diam(Y) < δ ein i mit Y ⊂ U_i existiert.

Ich weiss nicht, wie man das Zeigen soll :(

Ich hoffe Ihr könnt mir da weiterhelfen.

Danke an die Schlauen Köpfe!

LG