In welchen reellen Intervallen sind die Funktionen differenzierbar? Ableitungen? Bsp. (x^2 + 4x)^{3/2},

Question

 Auf welchen reellen Intervallen sind die folgenden Funktionen f definiert, wo sind sie differenzierbar, und wie lautet jeweils ihre Ableitung, falls die Funktionswerte f(x) gleich

 (x^2 + 4x)^{3/2},

 arcsin √((1−x )/(1 + x)) , 

x/(√(1 + x^2)) arcsinx + 1/2 ln(1−x^2). 

sind

Answer 1

(x² + 4x)^3/2,
√ (x² + 4x)³
Der Radikand muß ≥ 0 sein
x^2 + 4x ≥ 0
x ≤ -4
und
x ≥ 0

Comments

Es muss "oder" statt "und" heißen.

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x/(√(1 + x²)) arcsinx + 1/2 ln(1−x²).

x/(√(1 + x²))
1 + x^2 ist stets positiv
x/(√(1 + x²))  : keine Einschränkungen

arcsin ( x )  -1 ≤ x ≤ 1

1/2 ln(1−x²).
1 - x^2 > 0
x^2 < 1
-1 < x - 1

Insgesamt
-1 < x - 1

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arcsin √((1−x )/(1 + x)) ,
D \  x = -1

Werte für den arcsin ( von -1 bis 1 )

√((1−x )/(1 + x))
Der Radikand ≥ 0
( 1−x ) / ( 1 + x )

1. Fall  ( + / + )
(1−x ) > 0
und
(1 + x) > 0
x < 1 und  x > -1
Insgesamt
-1 < x < 1
dafür ergeben sich positive Werte

und für den arcsin muß der Wert von
√((1−x )/(1 + x)) kleiner 1 sein

√ ((1−x )/(1 + x) ) < 1 | quadrieren
( 1 − x ) / ( 1 + x ) < 1^2

1.Fall
1 + x > 0  => x < 1
1 - x < 1 * ( 1 + x )
1 - x < 1  + x
2x > 0
x > 0
Insgesamt
0 < x < 1

2.Fall
1 + x < 0  => x > 1
1 - x < 1 * - ( 1 + x )
1 - x < -1  - x
stets falsch

1. Fall  ( + / + )
0 < x < 1

2. Fall
(1−x ) < 0
und
(1 + x) < 0
x  > 1 und  x < -1
Keine Schnittmenge

Insgesamt
0 < x < 1

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wofür steht eigentlich das (+/+) bei den fällen

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Der Ausdruck in der Wurzel muß ≥ 0 sein
( 1−x ) / ( 1 + x )  ≥ 0

Dies ist der Fall
- wenn Zähler und Nenner positiv sind
1. Fall  ( + durch + = + )

oder
- Zähler und Nenner negativ sind

2. Fall  ( - durch - = + )