Integrieren von einem Bruch -x/(1+x^4)

Question

Was ist -x/(1+x^4) integriert? Mit Lösungsweg/Erklärung?

Sowie die angewendeten Regeln.

Answer 1

Substituiere

z=x^2

,dann erhältst Du

-1/2 int(1/(z^+1) dz

Lösung:-1/2 arc tan(x^2)+C

Comments

Kann man das auch mit z=x^4+1 und dx =dz/4x lösen?
Wie man die Substitution auch sonst anwendet ?

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dx =dz/4x

Das ist so ja verkehrt. es sind

dx = dz / (4x^3)

Und das ist dann etwas üngünstig, weil im Zähler ja nicht x^3 steht.

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Danke, ja das stimmt!

Noch eine letze Sache, ich habe -1/2* Int: 1/(u^2+1) *du  Wenn ich das Integriere, warum komm ich dan auf tangens?

Ist das so eine Gleichung oder Theorem bzw. feste Stammfunktion wie 1/x = ln(x)?

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Ja genau. Das schlägt man in der Liste der Stammfunktionen nach.

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Richtig. Das ist übrigens nicht der Tangens sondern der Arcus-Tangens. Aber es gibt ein paar Stammintegrale die man kennen sollte und die auch in jeder Formelsammlung stehen. Natürlich kann man diese Stammintegrale auch herleiten oder beweisen. Das wird zum Teil in der Uni gemacht. Aber das gehört eigentlich zum Wissen das man ruhig benutzen darf.

Answer 2

Kleiner Tipp. Wenn du mal Schwierigkeiten bei solcher Aufgabe hast, dann kannst du Wolframalpha fürs Handy nutzen. Der kann dir ein Lösungsweg anzeigen.