Aussagen über Gleichungssysteme beweisen

Question

Beweise oder widerlege folgende Aussagen:

a) Jedes lineare Gleichungssystem mit vier Gleichungen in drei Variablen

hat unendlich viele Lösungen.

b) Es gibt ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen in drei

Variablen, in dessen Lösungsmenge die Tupel (1; 4; -1) und (2; 5; 2)

enthalten sind.

c) Hat ein lineares Gleichungssystem mehr Gleichungen als Variablen, so

ist dessen Lösungsmenge leer.

d) Hat die Zeilenstufenform der linken Seite der erweiterten Koeffizientenmatrix

eines linearen Gleichungssystems mit k Gleichungen und n

Variablen den Eintrag 1 an der Stelle (k; n), so hat dieses lineare Gleichungssystem

genau eine Lösung.

Answer 1

Hi, zu (a)
nehme das Gleichungssystem
$$ a = 1 $$
$$ b = 2 $$
$$ c = 3 $$
$$ a+b+c = 0 $$
Das ist ein Gleichungssystem mit 4 Gleichungen und 3 Variablen, hat aber keine Lösung

zu (b)
Nehme das Gleichungssystem
$$ -13x + 4y +3z = 0 $$
$$ -13x + 4y +3z = 0 $$
dieses Gleichungssystem enthält die beiden Punkte als Lösungen.

zu (c)
Nehme das System
$$ a = 1 $$
$$ a = 1 $$
hier gibt es nur eine Lösung, nämlich \( a = 1 \)

zu (d)
Das System
$$  x+2y+z=4 $$
$$  y+2z = 5 $$
hat die gewünschte Stufenform aber unendlich viele Lösungen.